Hallo,

ich soll prüfen, ob folgende Funktion eine Verteilungsfunktion ist.
Somit ist zu prüfen, ob die Funktion:

(i) zwischen 0 und 1 im Grenzfall verläuft

(ii) rechtsstetig ist (Prüfung der Sprungstelle bei 0)

(ii) monoton steigend ist.

Für e gilt: 0 < e < 1.



@ (i) Prüfung der Grenzwerte für +/- ∞

- ∞ : lim 1-e / (1 + e^-y) = lim (1-e) / lim (1 + e^-y) = 1- e / (1+e^∞) = 0
∞ : lim e + 1-e / (1 + e^-y) = lim (e) + lim (1-e) / lim (1 + e^-y) = e + (1 - e) / (1 + e^-∞ ) = e + (1 - e) / (1 + 0) = e + (1 - e) = 1

Daher wäre aus meiner Sicht dieser Punkt erfüllt.

@ (ii) Prüfung der Rechtsstetigkeit am Punkt 0:

lim gegen 0⁺:  lim e + 1-e / (1 + e^-y) = lim (e) + lim (1-e) / lim (1 + e^-y) = e + (1 - e) / (1 + e^-0) = e + (1 - e) / (1 + 1) = e + (1 - e) / 2 =  F_y(0)

@ (iii) Prüfung monoton steigend

= Prüfung, ob F_y'(y) > 0:
für  y<0: [1-e / (1 + e^-y)]' = [(1-e) * (1 + e^-y)^-1]' =[Kettenregel] = (1-e) * (-1)*(1 + e^-y)^-2 *(- e^-y) = (1-e) * (1 + e^-y)^-2 *(e^-y) = ((1-e)*(e^-y)) / (1 + e^-y)²
für y>=0: Da sich die Funktion lediglich um eine Konstante unterscheidet, die bei der Ableitung ohnehin wegfällt, ist die 1. Ableitung gleich.

Kommentar Ergebnis > 0:
*) Zähler:
- (1-e) > 0 aufgrund Grenzen von e
- e^-y > 0, da e-Funktion im negativen Bereich positiv ist / gegen 0 strebt.
*) Nenner: Quadrat von positivem Wert (siehe Argumentation von Zähler) bleibt positiv.

Daher ist die erste Ableitung > 0 und die Funktion monoton steigend.
 
Stimmt das alles so?

Vielen Dank für eure Hilfe!