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Hallo,

ich soll prüfen, ob folgende Funktion eine Verteilungsfunktion ist.
Somit ist zu prüfen, ob die Funktion:

(i) zwischen 0 und 1 im Grenzfall verläuft

(ii) rechtsstetig ist (Prüfung der Sprungstelle bei 0)

(ii) monoton steigend ist.

Für e gilt: 0 < e < 1.



@ (i) Prüfung der Grenzwerte für +/-

- : lim 1-e / (1 + e-y) = lim (1-e) / lim (1 + e-y) = 1- e / (1+e) = 0
: lim e + 1-e / (1 + e-y) = lim (e) + lim (1-e) / lim (1 + e-y) = e + (1 - e) / (1 + e-∞ ) = e + (1 - e) / (1 + 0) = e + (1 - e) = 1

Daher wäre aus meiner Sicht dieser Punkt erfüllt.

@ (ii) Prüfung der Rechtsstetigkeit am Punkt 0:

lim gegen 0+:  lim e + 1-e / (1 + e-y) = lim (e) + lim (1-e) / lim (1 + e-y) = e + (1 - e) / (1 + e-0) = e + (1 - e) / (1 + 1) = e + (1 - e) / 2 =  Fy(0)

@ (iii) Prüfung monoton steigend

= Prüfung, ob Fy'(y) > 0:
für  y<0: [1-e / (1 + e-y)]' = [(1-e) * (1 + e-y)-1]' =[Kettenregel] = (1-e) * (-1)*(1 + e-y)-2 *(- e-y) = (1-e) * (1 + e-y)-2 *(e-y) = ((1-e)*(e-y)) / (1 + e-y)2
für y>=0: Da sich die Funktion lediglich um eine Konstante unterscheidet, die bei der Ableitung ohnehin wegfällt, ist die 1. Ableitung gleich.

Kommentar Ergebnis > 0:
*) Zähler:
- (1-e) > 0 aufgrund Grenzen von e
- e-y > 0, da e-Funktion im negativen Bereich positiv ist / gegen 0 strebt.
*) Nenner: Quadrat von positivem Wert (siehe Argumentation von Zähler) bleibt positiv.

Daher ist die erste Ableitung > 0 und die Funktion monoton steigend.
 
Stimmt das alles so?

Vielen Dank für eure Hilfe!

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Student, Punkte: 52

 
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1 Antwort
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Von der Idee her stimmt alles, vom Aufschreiben fast alles.
(i) Ausdrücke wie $e^{-\infty}$ gibt es nicht, das gäbe Punktabzug. Man arbeitet mit Grenzwerten.
(ii) Da braucht man keine Grenzwerte berechnen, denn die Teilfunktion für $y\ge 0$ ist ja stetig in 0. Das reicht.
(iii) Ist richtig, achte aber bei der Begründung darauf, Gedankenstriche von minus zu unterscheiden, sonst ist es verwirrend.
Schau Dir auch mal an, wie man hier math. Formeln setzen kann: https://media.mathefragen.de/static/files/mathjax_howto.pdf
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Lehrer/Professor, Punkte: 31.7K

 

Vielen vielen Dank für die ausführliche Analyse & Antwort! Alles klar! Und danke für den Link zum Post, den habe ich nicht mehr gefunden.   ─   m09s19 09.11.2022 um 12:37

Gerne. Bitte nicht vergessen, wenn alles geklärt ist, als beantwortet abzuhaken (Anleitung siehe e-mail). Bitte auch mal die früheren Fragen kurz durchgehen, wir Helfer sind auf Eure Mitarbeit angewiesen um den Überblick zu behalten.   ─   mikn 09.11.2022 um 12:40

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