Question

Textaufgabe lineare diophantische Gleichungen

Aufrufe: 946 Aktiv: 27.08.2020 um 15:05

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Aufgabe:

a) Für Ihr Abendessen kaufen Sie Brot sowie Wurst- und Käsebelag. Eine Packung Brot enthält 76 Scheiben, eine Packung Wurst 32 Scheiben und eine Packung Käse 56 Scheiben. Sie haben abends Gäste zu Besuch und schätzen, dass Sie genau 288 belegte Brote brauchen (dabei besteht ein belegtes Brot immer aus Brot, Wurst und Käse).

(a) Ist es möglich so einzukaufen, dass Sie genau 288 belegte Brote haben und nichts übrig?

(b) Ihnen fällt ein, dass einige Ihrer Gäste keinen Käse mögen. Sie wollen daher ganz auf Käse verzichten und nur belegte Brote mit Wurst anbieten. Können Sie nun genau passend einkaufen?

Meine Idee zu a):

Ich würde die diophantische Gleichung 76x + 32y + 56z = 288 aufstellen und auf Lösbarkeit prüfen. Eventulell noch eine Nebenbedingung (x + y + z = 1), da ein belegtes Brot aus Brot, Wurst und Käse besteht.

Meine Frage: Wie muss ich vorgehen um die beiden Aufgaben a, b zu lösen? Ist mein Ansatz korrekt oder nicht?

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gefragt 23.08.2020 um 12:10

freakbob999
Punkte: 50

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1 Antwort

rodion26 · Answer 1 · 2020-08-24T20:25:50Z

Ich würde die Aufgabe so interpretieren: Ein belegtes Brot besteht aus a Scheiben Brot, b Scheiben Wurst und c Scheiben Käse; a,b,c > 0. Wenn man unterschiedlich zusammengestellte Brote zulässt, kann man praktisch beleibige Lösungen bilden, also sollte man noch die Forderung ergänzen, dass alle Brote gleich zusammengestellt sind. Das ergibt die Gleichungen 76 x = 288 a ; 32 y = 288 b ; 56 z = 288 c Allerdings hat mein Ansatz den Effekt, dass Aufgabe (b) absolut trivial ist -- man lässt einfach die Gleichung für den Käse weg. Und es kommt auch keine schöne Lösung heraus: 76 = 4 * 19 ==> a = 19, also ein Turm aus 19 Scheiben Brot! Das macht keinen Sinn! Also müssen die einzelnen Brote doch verschieden sein. Aber das ist ebenfalls trivial: Kaufe genügend Zeug und mache 288 "Haufen".