Inhomogene lineare Differentialgleichungssystem lösen mit Einsetzungsverfahren

Erste Frage Aufrufe: 748     Aktiv: 10.12.2020 um 15:11
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HalliHallo,

leider habe ich absolut keine Ahnung, wie man Inhomogene lineare Differentialgleichungssystem mit Einsetzungsverfahren löst.

Daher bräuchte ich eine Schritt für Schritt Anleitung. Finde auch auf Youtube nichts, was mir bei dem Problem bisher helfen kann.
Und nein, ich brauche nicht "nur" die Lösung. Ein allgemeiner Ansatz reicht mir selbstverständlich auch.

Folgende Aufgabe wurde gestellt:

y1' = -2y1 - 2y2 +e'x

y2' = 5y1 + 4y2

Lösen mit Einsetzverfahren.

 

Vielen Dank im Voraus

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homogene Gleichungen hernehmen:
aus \(y_1´=-2y_1 -2y_2 \text { folgt } y_2= {-1 \over 2}(2 y_1 +y_1´) \)
\(y_2´= {-1 \over 2}(2y_1 ´+y_1´´) = 5y_1  + 4y_2 =5y_1 + 4*{-1 \over 2}(2y_1+ y_1´)\)
==>  \( y_1´´ +2y_1´ = -10y_1 +8y_1 +4y_1´ ==> y_1´´- 2y_1´ +2y_1 =0\) und mit \(y_1 =y\)
folgt die gewöhnliche lineare DGL \(y´´ -2y´+2y = e^x\)

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Wie kommt das y1´´ zu Stande?   ─   thorsten.huber 10.12.2020 um 01:30
Vorgehensweise war :Schritt 1: 1. Gleichung \( y_1´= .. \) wird nach \(y_2\) aufgelöst.
Schritt2: 2.Gleichung. \(y_2´=..\) da wird \(y_2 \) (das eben ermittelte) genommen und abgeleitet;
dann wird die vorgegebene Gleichung \(y2´ =\)genommen, das enthaltene \(y_2\)ersetzt mit der Auflösung) aus dem 1.Schritt und gleichgesetzt mit der Ableitung des aufgelösten \(y_2\) aus Schritt 2. dann alles sortieren (\(y_2 und y_2´ \) sind weg   ─   scotchwhisky 10.12.2020 um 09:09
aaahhh gecheckt. Herzlichen Dank euch beiden. Habe wohl zu viel um die Ecke gedacht.
Eine Frage noch. Wie kommt das e´x weg? Bzw. Warum fällt das weg bei den ersten Rechnungen?   ─   thorsten.huber 10.12.2020 um 15:01
Zuerst löst man die homogene Dgl.
Das ist aber nur die halbe Lösung. Es kommt noch die Lösung der inhomogenen DGL (partikuläre Lösung ) dazu.
Also \(y= y_h +y_p \). Das ist ein neues Thema. Meistens reicht ein Lösungsansatz in der Form der Inhomogenität   ─   scotchwhisky 10.12.2020 um 15:11

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Das Verfahren hat mit "homogen" oder "inhomogen" nichts zu tun. Wie der Name sagt, überführt man das System durch Einsetzen, z.B. von \(y_1 = (1/5) y_2' -(4/5) y_2 \) (aus der 2.Gleichung!) in die 1. Gleichung, die dann eine DGL 2. Ordnung ist. Willst Du darüber mehr wissen, schau die Videos auf meinem youTube Kanal. Hier der Link.

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