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Liebe Lounge,
ich glaube, ich schlage mich mit dem bekannten "Henne-Ei" Problem herum.

Und zwar frage ich mich, warum die Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis kompatibel ist mit Sinus- und Kosinussatz.

Für einen Winkel zischen 0 und 90° ist es offentsichtlich:
Wir schreiben ein drechtwinkliges Dreieck in den Einheitskreis an mit Hypotenuse = 1 LE. Je nachdem, wie ich den Punkt nun am Kreis verschiebe (solange ich zwischen 0 und 90° für alpha bleibe) gilt:
Sinus (alpha)= Gegenkathete / 1 = y-Wert des Punktes auf dem Kreis
Cosinus(alpha)= Ankathete / 1 = x- Wert des Punktes auf dem Kreis.

Da ist es mir klar, weshalb die Definition mit Hilfe des Einheitskreises im Prinzip die Variante für 0-90° (Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck) "beinhaltet".

Wieso gilt diese "beinhalten" bzw. die Kompatibiliät auch dann noch, wenn wir uns ein Dreieck mit 90 < alpha < 180° anschauen? 

Ich hoffe. meine Frage wird klar ?

Danke für eure Hilfe!!!

Beste Grüße
handfeger0
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1 Antwort
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Du meinst die Umsetzung von sin/cos  - ohne SATZ?

Du kannst ja im an der y- Achse gespiegelten Dreieck die gleichen Beziehungen aufstellen wie in dem im ersten Quadranten. Der sin entspricht dann  bei einem 30° Winkel der gleichen Höhe, egal ob du den Winkel " nach rechts" oder " nach links" anträgst. (Für die Quadranten III und IV analog)
Jetzt geht es nur noch darum, dass man den neuen Winkel weiterzählt und für Werte größer 90° (180° 270°) definiert (im Beispiel 150°), was im "echten " Dreieck nicht möglich ist.
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Lieber monimust,
meine Frage rührt eher daher:

Angenommen ich habe ein Dreieck ABC mit einem Winkel von z.B. 120°. Dann gilt ja der cos(120)=-0.5.
Wieso ist das gerade -0,5?! Das müsste ja bedeuten, dass, wenn ich das Dreieck in den Einheitskreis zeichne, der Schnittpunkt der Schenkel mit dem Einheitskreis (Punkt P) die x-Koordinate -0,5 hat.

Mir fehlt einfach so ein wenig der Zusammenhang. Wenn ich das mit dem Kosinussatz ausrechne, habe ich ja den Einheitskreis im Prinzip überhaupt nicht verwendet. Wieso passt das "So gut" ?
Mir erschien die Definition am Einheitskreis bislang so willkürlich (und eben nur für Winkel bis 90° passend und dann einfach verallgemeinert)
  ─   handfeger0 08.12.2021 um 06:43

Ich habe vermutlich dein Problem noch immer nicht verstanden. Versuche daher noch einmal grundsätzlich zu antworten.
1. In "echten Dreiecken" gilt ja eine Winkelsumme von 180° , wegen des rechten Winkels kann es nur weitere bis unter 90° geben.
2. Den Einheitskreis benutzt man, um direkt sin/cos abmessen/ablesen zu können ohne ein geteilt durch Hypothenusenlänge rechnen zu müssen.
3. Für den Übergang von sin/cos/tan in "echten Dreiecken" auf Funktionen, muss der Definitionsbereich erweitert werden, so dass man im Prinzip Winkelweiten /Bogenlängen von -oo bis +oo verwenden kann. Das macht man einerseits, indem man den Kreis beliebig oft durchläuft, gegen den Uhrzeigersinn ergibt das positive Werte, im UZS negative Werte für den Winkel (was geometrisch auch Unsinn ist)
4. Innerhalb der 360° müssen dann Winkelweiten mit 90° und mehr definiert werden. 90° ist schon geometrischer Unfug, weil sich wie bei 180° nur ein "Zweieck" ergäbe, ist eben so FESTGELEGT.
Wie man die zusätzlichen Winkel misst/berechnet, also immer von der positiven x-Achse aus im 2.3.4. Quadranten weißt du ja.
5. Weil der Einheitskreis im Koordinatensystem liegt, gibt es auf x- und y-Achse positive und negative Abschnitte, so dass eben für sin/cos auch negative Werte entstehen können. Die sind beim sin im 1.und 2. Quadranten positiv, beim cos im 1. und 4. Damit ergibt sich bei Übertragung in eine Kurve, dass diese oberhalb und unterhalb der x-Achse liegt.

Nochmal, das ist geometrisch Quatsch, in sich aber konsistent und so festgelegt, dass man Funktionsgleichungen einführen/benutzen kann.
  ─   monimust 08.12.2021 um 09:39

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