Aufgabe zu einer W'keitsdichte, c bestimmen, Ungleichung nachweisen

Aufrufe: 661     Aktiv: 12.07.2021 um 16:10
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Moin,

Ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich noch paar Tipps benötige, um weiter zu machen.

zu a) hab ich das richtig gemacht? (auch formal)
zu b) habe ich zwei Ansätze notiert. Ich hatte ne ähnliche Aufgabe vor paar Tagen, dennoch fällt es mir hier schwer zu verstehen, was das s und t sein soll bei b.i) scheint mir die Notation korrekt des Integrals, wie ich ansetze, aber dann ist mir aufgefallen, dass ich gar nicht weiß, was mit dem s gemeint ist. was ist dieses s und t denn überhaupt und wie nutze ich das? Also offensichtlich fehlt mir hier Hintergrundwissen. und zu b.ii) Ist das eine bedingte W'keit ? Das sieht nämlich so aus, laut Notation und mit sowas habe ich noch nie gearbeitet, in dieser Kombination. Bisher musste man sowas mit Satz von Bayes und totale W'keit an einem tollen "Lampen sind Kaputt" beispiel rechnen. Ebenfalls denke ich, dass ich die nicht muliplizieren muss, sondern ich denke dass es was mit den grenzen zu tun haben müsste. oder?

LG Labis
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Zu a): Da \(f_X(t)\) eine Dichte ist, muss diese sich zu \(1\) integrieren. Damit bestimmst du dann dein \(c\). Vom Prinzip her hast du es also richtig gemacht, nur formal ist natürlich nicht \(f_X(t)=1\), so wie du es aufgeschrieben hast. Du Integrierst auch nicht über \(\mathbb{R}\), sondern lediglich über nicht negative Werte. Auch das hast du zwar berechnet, aber als Integrationsbereich hast du zuerst \(\mathbb{R}\) geschrieben. 

Zu b): \(s,t\) sind einfach nur nicht negative Zahlen. Mit \(\mathbb{P}(X\geq s+t \mid X\geq t)\) meint man, wie du richtig vermutest, die bedingte Wahrscheinlichkeit.

Hinweis für die Ungleichung: Es ist 
\[\mathbb{P}(A \mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.\]
Wie sieht \(\mathbb{P}(X\geq s)\) aus?
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\( \mathbf{a})\) dh ich würde schreiben: \[ f_X(t) = c*t^{a-1}*exp(-t^a) \] damit \( f_X(t) \) eine Dichte ist, muss gelten: \[ 1 = \int_{-\infty}^{\infty} df_X(t) = \int_{0}^\infty c*t^{a-1}*exp(-t^a) \] und dann berechnen. Ich habe \( \mathbb{R} \) geschrieben, da ich immer dachte es ersetzt, das Intervall \( (-\infty,\infty) \) und in dem Fall wird es halt \( [0,\infty) \) wegen Aufgabenstellung. dh ab jetzt einfach sofort \( (-\infty,\infty) \) angeben? Also so wie ich es da gerade stehen habe geht?


\( \mathbf{b})\) ich schließe aus der Aufgabe, bei der du mir letztens schon geholfen hast, dass es sich erneut um ein Doppelintegral handelt. Man kommt ja nicht drum herum über das Intervall \( (-\infty,\infty) \) zu integrieren, aber man muss die zusätzliche Grenze s nicht vergessen. Also vermute ich mal, dass das Integral so ausschaut? Bin mir aber überhaupt nicht sicher, ob das korrekt ist mit dem Doppelintegral. bei der einen Grenze bin ich ratlos.
\[ \mathbb{P}(X \ge s) = \int_s^\infty d \mathbb{P_X} = \int_s^?\int_s^\infty \]   ─   labis 09.07.2021 um 15:56
Ja, die Aufgabe hätte mMn auch etwas genauer sein können. Es ist \(f_X(t) = c*t^{a-1}*exp(-t^a)\) für \(t\geq 0\) und für negative \(t\) ist die Dichte \(0\). Damit
\[1=\int_{\mathbb{R}}f_X(t)dt=\int_{0}^{\infty}c*t^{a-1}*exp(-t^a)dt.\]
Nein, wieso sollte es ein Doppelintegral sein? Letztes mal haben wir mit einer gemeinsamen Verteilung gearbeitet, das haben wir hier ja nicht.
Denk z.B. an eine Normalverteilung. Ist \(Z\) normalverteilt, wie würdest du
\[\mathbb{P}(Z\leq z)\]
berechnen? Bzw. Wie \(\mathbb{P}(Z\geq z)\)? Wenn du verstanden hast, wie man Wahrscheinlichkeiten über Dichten ausrechnet, sollte \(\mathbb{P}(X \ge s)\) kein Problem mehr sein.   ─   orbit 09.07.2021 um 16:14
sry, dass das so lange gedauert hat. anstrengendes wochenende gewesen. (danke für die geduld)

zu a) jetzt weiß ich wie ich das ordentlich notiere. danke

zu b) wunderbar, das hat mir meine Intuition auch gesagt, ich wolle nur mal wieder nicht auf sie hören. Ein Integral, war eigentlich klar, aber das ist ok. So kapier ich es. Wenn \( Z \) ~ N(μ,σ) ist \[ \mathbb{P}(Z \le z) = \mathbb{P}(\frac{x-μ}{σ} \le z) \] wenn \[ \mathbb{P}(Z \ge z) = \mathbb{P}(\frac{x-μ}{σ} \ge z) \] sdo würde ich die berechnen. Wenn man zB bei einer Aufgabe \[ \mathbb{P}(a \le z \le b) = F(b) - F(a) = Φ(\frac{b-μ}{σ})- Φ(\frac{a-μ}{σ}) \] aber ich soll hier wohl anwenden, wie es im Integral ausschaut, oder? :D


\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}*exp(-\frac{1}{2}*(\frac{x-μ}{σ})^2) \ \ \mathrm{und} \ \ F(x) = \int_{-\infty}^t \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}*exp(-\frac{1}{2}*(\frac{t-μ}{σ})^2) \]
Dann wäre ja \[ \mathbb{P}(a \le z \le b) = F(b) - F(a) = \int_{-\infty}^t \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}*exp(-\frac{1}{2}*(\frac{b-μ}{σ})^2) - \int_{-\infty}^t \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}*exp(-\frac{1}{2}*(\frac{a-μ}{σ})^2) \]
aber hier wird ja nicht mit den Grenzen gearbeitet, sondern in einer Standardnormalverteilung transformiert, wenn ich es richtig verstanden habe. Viel Kopfsalat gerade bei mir.   ─   labis 11.07.2021 um 20:09
\[ \mathbb{P}(X \ge s) = \int_s^\infty at^{a-1}* e^{-t^a} \ \ dx \]   ─   labis 11.07.2021 um 20:25
Genau, ist \(X\) eine ZV mit Dichte \(f_X\), dann ist
\[\mathbb{P}(X \leq z)=\int_{-\infty}^{z}f_X(x)dx.\]
Folglich auch
\[\mathbb{P}(X \geq z)=1-\mathbb{P}(X \leq z)=\int_{z}^{\infty}f_X(x)dx.\]
Berechne jetzt mal \(\mathbb{P}(X \ge s)\) und versuch die Behauptung über den o.g. Hinweis zu zeigen.   ─   orbit 11.07.2021 um 20:37
und zum Satz von bayes wäre ja die Überlegung:

\[ \mathbb{P}(A \mid B)= \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \ \Rightarrow \ \mathbb{P}(X \ge s+t \mid X \ge t)= \frac{\mathbb{P}((X \ge s+t) \cap (X \ge t))}{\mathbb{P}(X \ge t)} \]
und wir wissen ja:
\[ \mathbb{P}(A \cup B)= \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \ \ \Leftrightarrow \ \ \mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(A \cup B)- \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B) \]   ─   labis 11.07.2021 um 20:38
Berechne mal explizit \(\mathbb{P}(X \ge t)\). Wie kann man die Menge \(\{X \ge s+t\} \cap \{X \ge t\}\) noch schreiben bzw. vereinfachen?   ─   orbit 11.07.2021 um 20:44
\[ \mathbb{P}(X \ge s) = \int_s^\infty at^{a-1} * exp(-t^a) dx\]
Int. d. Subst: \( z=t^a \Rightarrow z^1 = at^{a-1} \Rightarrow dx=\frac{dz}{z^1}=\frac{dz}{at^{a-1}}\)

Also: \[ = \int_s^\infty at^{a-1} * exp(-t^a) dx = \int_s^\infty at^{a-1} * exp(-z) \frac{dz}{at^{a-1}}= \int_s^\infty e^{-z} dz = [-e^{-z}]_s^\infty = e^{-s} \]

\[ \mathbb{P}(X \ge s) = e^{-s} \]   ─   labis 11.07.2021 um 20:54
also irgendwie spinnt gerade die seite. die nachricht wird nicht ordnungsgemäß hochgeladen. ich versuche es noch mal   ─   labis 11.07.2021 um 21:14
Also ich habe mal dies mal auf mein Gefühl gehört. Ich habe mir ein Koordinatensystem gezeichnet. s und t sind ja zwei werte auf der x-achse, da sie ein intervall angeben. Die Menge \( X \ge s+t \) sind ja lediglich zwei Integrale. Sei mal s kleiner t dann wäre \( X \ge s+t \) doch lediglich das erste Integral von [s,t] + [t, unendlich.]   ─   labis 11.07.2021 um 21:19
Das passt so nicht ganz. Es sollte eher \(e^{-s^{\alpha}}\) rauskommen.

Was meinst du mit zwei Integrale? \(s,t\) sind lediglich Zahlen. Die betrachteten Mengen sind ja Teilmengen von \(\Omega\). Z.B. ist \(\{X \ge t\}\) die Kurzform für \(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \ge t\}\). Wie sieht also der Schnitt von \(\{X \ge s+t\},\{X \ge t\}\) aus? Hinweis: Teilmengen.   ─   orbit 12.07.2021 um 14:30
Jap. Hab vergessen, dass da ja noch ein hoch a steht. Es müsste sein:
\[ = [e^{-z}]_s^\infty = [e^{-t^a}]_s^\infty = 0 + e^{-s^a} = e^{-s^a} \]

Also ich hab mir folgendes überlegt. s und t sind Zahlen, wie du sagtest. Diese Zahlen s und t sind ja die Grenzen des Integrals, also haben sie einen Abstand zueinander und ich bin so vorgegangen, dass ich mir angeschaut habe, wie die Mengen aussehen, indem ich mir eine X-Achse aufgezeichnet hab und s und t eingetragen habe. Hier habe ich zur veranschaulichung für mich s kleiner t gewählt.
- Die Menge \( \{X \ge s\} \) ist die komplette Fläche von s bis unendlich.
- Die Menge \( \{X \ge t\} \) ist die komplette Fläche von t bis unendlich.
- ebenfalls gilt s+t = u und man kann schreiben: \( \{X \ge u\} \). Also ist die Anordnung der Zahlen nun \( (s \mid t \mid u) \)
- Der Schnitt von \( \{X \ge u\} \) mit \( \{X \ge t\} \) ist die gemeinsame Fläche unter dem Integral, die beide Mengen haben und die startet bei u.
- Also ist der Schnitt \( \{X \ge u \} \)   ─   labis 12.07.2021 um 14:54
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Sieht gut aus, wenn ich dich richtig verstehe. Jedenfalls ist \(\{X \ge s+t\}\subseteq \{X \ge t\}\) und damit
\[\{X \ge s+t\}\cap\{X \ge t\}=\{X \ge s+t\}.\]
Kannst du jetzt die Ungleichung folgern?   ─   orbit 12.07.2021 um 15:12
ja, genau das meinte ich. hab es ja nur als u geschrieben. gib mir einen Moment. ich denke nach   ─   labis 12.07.2021 um 15:15
zz. \( \mathbb{P}(X \ge s+t \mid X \ge t) \le \mathbb{P}(X \ge s) \)

Mit Satz von Bayes:

\[ \mathbb{P}(X \ge s+t \mid X \ge t) = \frac{\mathbb{P}((X \ge s+t) \cap (X \ge t))}{\mathbb{P}(X \ge t)} = \frac{\mathbb{P}(X \ge s+t)}{\mathbb{P}(X \ge t)}= \frac{e^{-(s+t)^a}}{e^{-s^a}} = e^{-(s+t)^a + s^a} \]
also \[ \Rightarrow e^{-(s+t)^a + s^a} \le e^{-s^a} \ \ \mid * ln() \]
\[ \Leftrightarrow ln(e^{-(s+t)^a + s^a}) \le ln(e^{-s^a}) \]
\[ \Leftrightarrow {-(s+t)^a + s^a} \le -s^a \]

reicht das? oder muss ich das weiter aufbröseln?   ─   labis 12.07.2021 um 15:32
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Pass auf, dass du \(s\) und \(t\) nicht durcheinander bringst. Es ist \(\frac{e^{-(s+t)^a}}{e^{-t^a}}=e^{t^a - (s + t)^a}\).
Ob es am Ende genauer begründet werden muss, kann ich dir nicht sagen. Das hängt von deinem Dozenten ab.   ─   orbit 12.07.2021 um 15:54
und erneut bin ich zu dank verpflichtet. danke für die hilfe   ─   labis 12.07.2021 um 16:10

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