Warum willst Du auf diese Lösung kommen? Oder überhaupt auf eine vorgegebene? Es gibt meistens mehrere richtige Lösungen.
Und die hier angegebene stimmt eh nicht.
Der Nachweis geht hier relativ einfach, ohne Wurzelkriterium, ohne Teilfolgen:
$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n \ge \sum\limits_{\stackrel{n=1}{n\; ungerade}}^\infty \frac1{\sqrt{n}} = \sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{\sqrt{2i-1}} \ge \sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{\sqrt{2i}} = \frac1{\sqrt{2}}\sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{\sqrt{i}}\longrightarrow \infty$
also Majorantenkriterium.

Moin,

ja, da hast du einen Fehler in der Lösung entdeckt, die Folge $(b_n)$ konvergiert tatsächlich gegen 1 und lässt daher keinen Schluss über die Konvergenz der Reihe zu.

Man kann das Problem aber auch viel einfacher lösen (dafür aber ohne Wurzelkriterium): Zunächst überlegt man sich, dass die Reihe der ungeraden Folgenglieder $a_n$ von der Form $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^{\frac{1}{2}}}$$ist, und wir wissen, dass die Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}$ divergiert. Das lässt einen vermuten, dass auch unsere Reihe $\sum\limits_{k\ge 1}a_k$ divergiert. Um das mathematisch präzise zu formulieren, müssen wir bemerken, dass $(n_k)_{k\in \mathbb{N}}$, $n_k=2k-1$ eine streng monoton wachsende Folge in $\mathbb{N}$ ist, also $$S_{n_k}=\sum\limits_{n=2m-1\\1\le m\le k}a_n$$eine Teilfolge der Folge $S_n=\sum\limits_{k\ge1}a_k$, deren Konvergenzverhalten uns interessiert. Falls nun $S_n$ konvergiert, dann gilt auch $$\lim\limits_{n\to \infty}S_n=\lim\limits_{k\to\infty}S_{n_k}$$aber wir hatten schon festgestellt, dass die rechte Seite nicht existiert, also ein Widerspruch zur Konvergenz von $S_n$.

Ich hoffe ich konnte dir helfen,
LG