Konvergenzverhalten über Wurzelkriterium

Aufrufe: 236     Aktiv: 03.08.2023 um 20:09

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Hi zusammen. Ich soll das Konvergenzverhalten folgender Reihe mittels Wurzelkriterium prüfen:

Hier ist die Lösung dazu [ habe es natürlich zuerst selbst probiert und bin nicht auf das gleiche gekommen ;-) ]:

Das Problem hier ist, dass ich auf 1 komme wenn ich $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ berechne, was keine Aussage über das Konvergenzverhalten machen würde. Entweder habe ich die Definition von limsup (oder etwas anderes) nicht verstanden, oder die Lösung ist falsch. Nach mir sind die Suprema ab b_2 in den Lösungen falsch, die müssten doch alle 1 sein, oder nicht? Ich habe es mir auch graphisch angeschaut, beide Folgen aus der nten Wurzel konvergieren gegen 1:

Wo liegt der Fehler?

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Warum willst Du auf diese Lösung kommen? Oder überhaupt auf eine vorgegebene? Es gibt meistens mehrere richtige Lösungen.
Und die hier angegebene stimmt eh nicht.
Der Nachweis geht hier relativ einfach, ohne Wurzelkriterium, ohne Teilfolgen:
$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n \ge \sum\limits_{\stackrel{n=1}{n\; ungerade}}^\infty \frac1{\sqrt{n}} = \sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{\sqrt{2i-1}} \ge \sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{\sqrt{2i}} = \frac1{\sqrt{2}}\sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{\sqrt{i}}\longrightarrow \infty$
also Majorantenkriterium.
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Hi mikn, vielen Dank für deine Antwort. Das war eine Aufgabe aus dem Buch 'Thomas C.T. Michaels Analysis 1' und war so vorgegeben mit Wurzelkriterium.   ─   aequus formidus 03.08.2023 um 19:55

Auch in Büchern gibt es schonmal Fehler...   ─   mikn 03.08.2023 um 20:09

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Moin,

ja, da hast du einen Fehler in der Lösung entdeckt, die Folge $(b_n)$ konvergiert tatsächlich gegen 1 und lässt daher keinen Schluss über die Konvergenz der Reihe zu.

Man kann das Problem aber auch viel einfacher lösen (dafür aber ohne Wurzelkriterium): Zunächst überlegt man sich, dass die Reihe der ungeraden Folgenglieder $a_n$ von der Form $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^{\frac{1}{2}}}$$ist, und wir wissen, dass die Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}$ divergiert. Das lässt einen vermuten, dass auch unsere Reihe $\sum\limits_{k\ge 1}a_k$ divergiert. Um das mathematisch präzise zu formulieren, müssen wir bemerken, dass $(n_k)_{k\in \mathbb{N}}$, $n_k=2k-1$ eine streng monoton wachsende Folge in $\mathbb{N}$ ist, also $$S_{n_k}=\sum\limits_{n=2m-1\\1\le m\le k}a_n$$eine Teilfolge der Folge $S_n=\sum\limits_{k\ge1}a_k$, deren Konvergenzverhalten uns interessiert. Falls nun $S_n$ konvergiert, dann gilt auch $$\lim\limits_{n\to \infty}S_n=\lim\limits_{k\to\infty}S_{n_k}$$aber wir hatten schon festgestellt, dass die rechte Seite nicht existiert, also ein Widerspruch zur Konvergenz von $S_n$.

Ich hoffe ich konnte dir helfen,
LG
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