Die Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert gegen \( a \), d.h. zu einem beliebigen \( \varepsilon > 0\) gibt es ein \( n_0 \in \mathbb{N} \), sodass \( a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon \) für alle \( n \ge n_0 \) gilt.

Sei nun \( n > n_0 \). Dann lässt sich folgende Abschätzung machen

\( \sum_{i=n_0}^n a_i < \sum_{i=n_0}^{n} (a + \varepsilon) = (n-n_0+1)(a + \varepsilon) \)

Hieraus folgt

\( b_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i = \frac{1}{n} \sum_{i=n_0}^n a_i + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n_0-1} a_i < \frac{1}{n} (n-n_0+1) (a + \varepsilon) + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n_0-1} a_i \)

und somit

\( \lim \inf_{n \to \infty} b_n \le \lim \sup_{n \to \infty} b_n \le \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (n-n_0+1)(a + \varepsilon) + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n_0-1} a_i = a +\varepsilon \)

Analog erhalten wir

\( \lim \sup_{n \to \infty} b_n \ge \lim \inf_{n \to \infty} b_n \ge a - \varepsilon \)

Und für \( \varepsilon \to 0 \) folgt dann \( \lim \inf_{n \to \infty} b_n = \lim \sup_{n \to \infty} b_n = a \), also ist \( (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent mit \( \lim_{n \to \infty} b_n = a \).

etwas kürzer:

\( | \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i -a |= \)\( | \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i -\frac{na}{n} | =\)\( | \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}a_i -\sum_{i=1}^{n}a) | <=\)

\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}|a_i -a) | <\frac{n\epsilon}{n}=\epsilon\) für n≥n0

Du hast recht! Vielleicht geht es so besser:

\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|a_i-a|=\)\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n_0-1}|a_i-a|+\)\(\frac{1}{n}\sum_{i=n_0}^{n}|a_i-a|<\frac{N_0}{n_0}+\frac{n-n_0}{n}\epsilon<\frac{N_0}{n_0}+\epsilon\) 

mit \(N_0:=\sum_{i=1}^{n_0-1}|a_i-a|\)