Die Idee dieser Gleichung ist, dass man die Gerade \(y=f'(x_0)x\), die ja, wie du auch erkannt hast, die richtige Steigung hat, so verschiebt, dass sie durch den Punkt \((x_0|f(x_0))\) geht. Dazu muss man sie \(x_0\) Einheiten nach rechts und \(f(x_0)\) Einheiten nach oben verschieben und kommt so auf \(f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
Du kannst aber auch mit \(y=f'(x_0)x+b\) ansetzen und den \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen, indem du den Punkt einsetzt. Dann kommst du auf \(f(x_0)=f'(x_0)x_0+b\Longrightarrow b=f(x_0)-f'(x_0)x_0\) und damit \(y=f'(x_0)x+f(x_0)-f'(x_0)x_0\), was nach Ausklammern von \(f'(x_0)\) offensichtlich das selbe ist.

Das ist die Abwandlung der Punkt-Steigungsform einer Geradengleichung
Wenn du die Tangentensteigung f'(xo) gleichsetzt mit der Steigung (y - f(xo))/(x-xo), mit (x/y) als allgemeinen Geradenpunkt und (xo/f(xo)) als Berührpunkt und nach y auflöst ...