Urbild von Mengen

Aufrufe: 386     Aktiv: 16.04.2023 um 19:17

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Ist das Urbild des Komplements einer Menge A und das Komplement des Urbilds der Menge A Teilmengen voneinander? Wenn ja, Warum? Da ich die Idee haben, dass Sie Teilmengen voneinander sind aber nicht schlüssig begründen kann.

Hierbei haben wir eine Abbildung f: X nach Y mit A Teilmenge Y.
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1 Antwort
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Hallo

Also du hast eine Abbildung $f:X\rightarrow Y$ und $A\subset Y$. Nun möchtest du wissen wie $f^{-1}(A^c)$ und $(f^{-1}(A))^c$ zueinander stehen. Nun könnten wir ja einmal behaupten, dass $$f^{-1}(A^c)=(f^{-1}(A))^c$$ und könnten dies versuchen zu zeigen. 
Wie würdest du eine solche Gleichung zeigen? (Es gibt mehrere Möglichkeiten, aber ich möchte hier eine wählen mit der du dich "wohl" fühlst).
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Student, Punkte: 1.95K

 

Hallo, danke dir für die schnelle Antwort. Wenn ich so etwas beweisen müsste, würde ich gucken, dass ich von dem linken Ausdruck des Gleichheitszeichen zum rechten komme. Aber man kann es denke ich einfacher begründen ohne einen Beweis. Da habe ich versucht mir das anhand einer Abbildung zu veranschaulichen, allerdings habe ich mich selbst nur verwirrt.   ─   anonym6a3c0 16.04.2023 um 15:44

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Ja genau also entweder kannst du beide Inklusionen zeigen, also $\subseteq$ und $\supseteq$. Oder du schreibst die Definition der linken Seite hin und vergleichst sie mit der Definition der rechten Seite nachdem du einige Umformungen gemacht hast.

Also wenn du die Aufgabe wirklich zeigen musst, dann musst du einen Beweis führen. Eine Zeichnung dient dir zur Intuition aber nicht zum zeigen der Behauptung.

Aber der Beweis ist wirklich sehr kurz. Fang doch gleich einmal an und schreib diene Fortschritte hier in die Frage. Ich bin nun wieder zuhause und habe genug Zeit um es mit dir anzuschauen.
  ─   karate 16.04.2023 um 16:27

Ist das nicht so, dass f^–1(A^c)= {x aus X|f(x) aus Y\A}und (f^-1(A))^c= {x aus X\ f^-1(A)|f(x) aus A}.

Ich glaube die linke Menge ist in der rechten enthalten aber nicht die rechte in der linken vom Gleichheitszeichen. ( Das was du oben aufgeschrieben hast)

  ─   anonym6a3c0 16.04.2023 um 17:00

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Ja genau also $f^{-1}(A^c):=\{x\in X: f(x)\in A^c\}=\{x\in X: f(x)\in Y\setminus A\}$. Schau dir nun nochmals die zweite Menge an, ich denke da stimmt etwas nicht. Denn $(f^{-1}(A))^c=X\setminus f^{-1}(A)$, aber ich sehe nicht woher die Bedingung $f(x)\in A$ kommt. Das ist falsch. Aber versuch $X\setminus f^{-1}(A)$ umzuschreiben   ─   karate 16.04.2023 um 17:06

okay, werde ich verbessern danke schön.   ─   anonym6a3c0 16.04.2023 um 17:34

Hast du es nun herausgefunden?
  ─   karate 16.04.2023 um 19:17

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