Hallo,

wie erhält man die MLE-Schätzer \( \beta \) bzw. \( \sigma \)² für die allgemeine lineare Normalregression?

Grundannahmen bzgl. Modell:

*) Cov(\( \epsilon\)) = (\( \sigma \)² I) wird zum allgemeineren Fall Cov(\( \epsilon\)) = (\( \sigma \)² W), wobei W eine bekannte positiv definite Matrix ist. Im Fall von heteroskedastischer und (nach wie vor) unkorrelierter Störgrößen erhält man W = diag(w\(_{1}\),...,w\(_{n}\))
*) y ~ N(X\( \beta \) , \( \sigma \)²W) bzw. \( \epsilon\) ~ N(0 , \( \sigma \)²W) 
*) Designmatrix X besitzt vollen Spaltenrang (rg(X) = p).

Gezeigt werden soll, dass der ML-Schätzer für \( \beta\) unter Normalverteilungsannahme mit dem gewichteten KQ-Schätzer \( \beta^{dach}\) = (X' W\(^{-1}\) X)\(^{-1}\) X' W\(^{-1}\) y übereinstimmt, dh. \( \beta^{dach}_{ML}\) = \( \beta^{dach}\).

Ich hätte jetzt folgendermaßen angefangen:

f(\( \epsilon\) | \( \beta\), \( \sigma \)²w\(_{i}\)) = \( \frac{1} { \sqrt{2 \pi \sigma^2 w_i} }\) * e\(^{ \frac {-\epsilon^2} { 2 \sigma^2 w_i}}\) 

f(x\(_{i}\),y\(_{i}\) | \( \beta\), \( \sigma \)²w\(_{i}\)) = \( \frac{1} { \sqrt{2 \pi \sigma^2 w_i} }\) *  e\(^{ \frac {-\frac{1}{w_i}(y_i - x_i'\beta)} { 2 \sigma^2 w_i}}\) 

f(x\(_{1}\),...,x\(_{i}\),y\(_{1}\),...,y\(_{i}\) | \( \beta\), \( \sigma \)²w\(_{i}\)) = \( \prod_{i=1}^n\) \( \frac{1} { \sqrt{2 \pi \sigma^2 w_i} }\) *  e\(^{ \frac {-\frac{1}{w_i}(y_i - x_i'\beta)} { 2 \sigma^2 w_i}}\) = (2\( \pi \sigma^2 W\))\(^{-\frac{n}{2}}\) * e\(^{ \frac {-(y - X\beta)' W^{-1} (y - X\beta)} { 2 \sigma^2 W}}\)

L(\( \beta\), \( \sigma \)²W | X,y) = (2\( \pi \sigma^2 W\))\(^{-\frac{n}{2}}\) * e\(^{ \frac {-(y - X\beta)' W^{-1} (y - X\beta)} { 2 \sigma^2 W}}\)

log(L) = \( -\frac{n}{2} \) log(\(2\pi\)) - \( -\frac{n}{2} \) log(\(\sigma^2 W \)) - \({ \frac {(y - X\beta)' W^{-1} (y - X\beta)} { 2 \sigma^2 W}}\)

Ab der Ableitung inkl. Ausarbeitung Maximum weiß ich nicht mehr weiter, wie ich jeweils auf die Schätzer kommen soll...

Schätzer für \( \sigma^{dach}_{ML}\) soll sein: \( \frac{1}{n} \) (y - X \(\beta^{dach} \))' W\(^{-1}\) (y - X \(\beta^{dach} \)) 

Hat jemand von euch eine Idee?

Danke euch!