"Der Grenzwert von 1/n bei n gegen unendlich muss doch 0 sein oder ?"
Stimmt, ja.
Für Teleskopreihen mit "offener" oberer Grenze (also Unendlich), falls \(a_n \to 0\) erfüllt ist, gilt:
$$\displaystyle\sum\limits_{n=k}^{\infty} (a_{n+1}-a_n) = -a_k$$
bzw. hier:
$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n+1}-a_n) = -a_1$$
\(a_n\) lautet hier \(-\dfrac{1}{n}\), ferner ist \(a_n \to 0\) erfüllt.
\(a_{n+1}\) ist \(-\dfrac{1}{n+1}\) (so wurde die Funktion auch aufgeteilt).
Also lautet der Grenzwert \(a_k=a_1=-\left (-\dfrac{1}{1}\right) = -(-1) = 1\).
I.Ü. gilt \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+k)} =\dfrac{H_k}{k}\) für \(k\in\mathbb{N}\), wobei \(H_k\) die k-te Harmonische Zahl darstellt.
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Vielen Dank schonmal :) ─ anonymf0fbf 30.07.2019 um 16:00