Aufgabe 2: Fange mal mit Mengendiagrammen an. Wenn Du verstanden hast, was die Aussage ist, dann nimmst Du irgendeine Grundmenge, z.B. \(\mathbb{N}\), und bildest geeignete Teilmengen, die die Bedingungen erfüllen. Die Teilmengen kannst Du einfach durch Aufzählen der Elemente angeben.
Elemente eines kartesischen Produktes schreibt man als Paare. Ist \(x\in A\) und \(y\in B\), dann ist \((x,y)\in A\times B\). Auf diese Art kann man alle Elemente von \(A\times B\) darstellen, indem \(x\) alle Elemente von \(A\) und \(y\) alle Elemente von \(b\) durchläuft. Dann denke daran, dass Du Mengengleichungen zeigst, indem Du "\(\subseteq\)" und "\(\supseteq\)" getrennt zeigst. Dazu gibst Du Dir jeweils ein Element aus einer Menge vor und zeigst dann, dass es auch in der anderen Menge liegt. Zum Beispiel: Sei \((x,y)\in A\times(B\cap C)\). Dann gilt \(x\in A\) und \(y\in B\cap C\). Daraus folgt \(x\in A\) und \(y\in B\), also \((x,y)\in A\times B\), aber es folgt auch \(x\in A\) und \(y\in C\), also \((x,y)\in A\times C\). Insgesamt liefert dies \((x,y)\in(A\times B)\cap(A\times C)\). Da \((x,y)\) in \(A\times(B\cap C)\) beliebig gewählt war, haben wir \(A\times(B\cap C)\subseteq (A\times B)\cap(A\times C)\) bewiesen.
Injektivität und Surjektivität beweist Du direkt mit den Definitionen; sie liefern schon die Anleitung. Wo genau hast Du da Probleme? Für die Beispiele muss man sich was Ausdenken. Ich mache mal ein Beispiel zu einer anderen, aber ähnlichen Aufgabe: Geben Sie eine injektive, aber nicht surjektive Abbildung \(\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0\) an: Wir erfinden die Abbildung \(f(x):=2x\). Sie hat die richtigen Definitions- und Bildbereiche (klar). Injektivität: Sei \(f(x)=f(y)\). Dann gilt \(2x=2y\), also \(x=y\). Damit ist \(f\) injektiv. \(f\) ist nicht surjektiv: Angenommen, es gäbe \(x\in\mathbb{N}_0\) mit \(f(x)=1\). Dann würde gelten \(2x=1\), also \(x=\frac12\). Aber \(\frac12\notin\mathbb{N}_0\). Widerspruch! Also kann es solch ein \(x\) nicht geben, der Wert \(1\) wird nicht angenommen und \(f\) ist nicht surjektiv.
Bei der 5 musst Du ganz systematisch vorgehen, also "\(\Leftarrow\)" und "\(\Rightarrow\)" getrennt zeigen, schritt für Schritt die Definitionen verwenden und verschiedene Beweistechniken. Das klappt natürlich nur, wenn Du alle Beweise im Skript gelesen und komplett verstanden hast. Dann versuchst Du, die Art der Schlüsse und Formulierungen zu übertragen auf die Aufgabe. Alle wesentlichen Techniken sollten im Skript vorhanden sein. Diese Aufgabe schätze ich als eher schwierig ein.
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