Du hast die Gleichung $x=\sqrt[3]y$, wenn Du hier die 3. Wurzel anwendest, erhälst Du $\sqrt[3]x=\sqrt[9]y$, was soll das bringen?
Im Chemieunterricht muss man manchmal vorsichtig sein, wenn man was ausprobiert. Bei Mathe-Aufgaben ist das kein Problem, sondern sogar empfehlenswert. Statt zu grübeln, was man darf und was nicht, mach es einfach (es ist sowieso unklar, was Du meinst). Und mach mit dem Ergebnis die Probe, dann merkst Du ja, ob es stimmt oder nicht. 
"..wenn man eine Aufgabe hat wie x^1/3 + 1 bilden Sie die Umkehrfunktion.
Wäre das dann 1/3-te Wurzel aus (x-1) ?" Nein. Erklärung s.o., ausprobieren, nicht herumgrübeln. Und wiederhole die Potenzrechenregeln.