Die Idee, die Brüche links auf den Hauptnenner zu bringen ist schon mal gut.
Also:\({x*(x+1) \over (x-1)*(x+1)} +{2*(x-1) \over (x+1)*(x-1)} \le -{4 \over x^2 -1}\).
Bei der Multiplikation mit \(x^2 -1 \) muss man eine Fallunterscheidung machen 
Fall A: \(x^2 -1 \gt 0 ==> x^2 \gt 1 ==> x\gt1 \text { oder } x\lt -1\)
Fall B: \( x^2-1 \lt 0 ==> x^2 \lt 1 ==> - 1 \lt  x  \lt 1\).
Jetzt wird für Fall A gerechnet: man kann beide Seiten mit \(x^2-1\) multiplizieren ==> \( x*(x+1) + 2*(x-1)= x^2+3x-2 \le -4 ==> (x^2 +3x +2) \le 0\)
Nachschauen wann =0 erfüllt ist \(x_{1,2} = -{3 \over 2} \pm \sqrt {({3 \over 2})^2 -2} = -{3 \over2 } \pm {1 \over 2} ==>  x_1 =-1 ; x_2 = -2\)
==> Die Ungleichung ist im Intervall (-2 | -1] erfüllt
Fall B: bei Multiplikation mit \((x^2-1) \lt 0\) folgt : \( x^2 +3x -2 \ge -4\ ==> x^2 +3x+2 \ge 0\) ==> Die Ungleichung ist im Intervall (-1 | 1 ) erfüllt
Lösungsmenge ist also : Intervall 1=( -2 | -1) + Intervall2  (-1 | +1)

Wir haben

\( \frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1} \le \frac{-4}{x^2-1} \)

Wir multiplizieren nun beide Seiten der Ungleichung mit \( x^2-1 \). Dabei müssen wir die folgenden zwei Fälle unterscheiden:

Fall 1: \( \vert x \vert > 1 \). Dann ist \( x^2 -1 > 0 \) und somit gilt

\( (\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1})(x^2-1) \le \frac{-4}{x^2-1}(x^2-1) \)

\( \Leftrightarrow \frac{x(x^2-1)}{x-1} + \frac{2(x^2-1)}{x+1} \le -4 \)

\( \Leftrightarrow x(x+1) + 2(x-1) \le -4 \)

\( \Leftrightarrow x^2+3x-2 \le -4 \)

\( \Leftrightarrow x^2+3x+2 \le 0 \)

\( \Leftrightarrow (x+1)(x+2) \le 0\)

Das Produkt \( (x+1)(x+2) \) ist genau dann nicht positiv, wenn einer der Faktoren nicht positiv und der andere nicht negativ ist. Wir müssen hier also nochmals zwei Fälle unterscheiden:

Fall 1.1: \(x+1 \le 0\) und \(x+2 \ge 0\) (und \( \vert x \vert > 1 \)). Dann ist \( x \in [-2,-1) \).

Fall 1.2: \(x+1 \ge 0\) und \(x+2 \le 0\) (und \( \vert x \vert > 1 \)). Dieser Fall kann nicht eintreten, da sonst einerseits \( x \ge -1 \), aber andererseits \( x \le -2 \) sein müsste und das ist unmöglich.

Als Lösungsmenge für Fall 1 erhalten wir somit das Intervall \( [-2,-1) \).

Fall 2: \( \vert x \vert < 1 \). Dann ist \( x^2 -1 < 0 \) und somit gilt

\( (\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1})(x^2-1) \ge \frac{-4}{x^2-1}(x^2-1) \)

\( \Leftrightarrow x(x+1) + 2(x-1) \ge -4 \)

\( \Leftrightarrow x^2+3x+2 \ge 0 \)

\( \Leftrightarrow (x+1)(x+2) \ge 0\)

Diese Ungleichung ist in diesem Fall immer erfüllt, denn für \( \vert x \vert < 1 \) gilt insbesondere \( x \ge -1 \) und somit \( x+1 \ge 0 \) und \( x+2 \ge 0 \), also auch \( (x+1)(x+2) \ge 0 \).

Als Lösungsmenge für Fall 2 erhalten wir demnach das Intervall \( (-1,1) \).

Insgesamt erhalten wir nun aus den beiden Fällen die Lösungsmenge \( L = [-2,-1) \cup (-1,1) = [-2,1) \setminus \{-1\} \).

Zu einer der Fragen aus dem Kommentar einer anderen Antwort: "1.warum ist bei fall a nach dem ich ja die wurzel ziehe einmal x größer als eins und dann einmal x kleiner als -1 ? man nimmt da doch nix mit minus mal das sich der pfeil ändert."

Was hier eventuell für dich zum Verständnisproblem wird, ist, dass du das, was man im Zusammenhang mit reinquadratischen GLEICHUNGEN lernt, nicht einfach auf UNGLEICHUNGEN übertragen kann: 

Bei einer Gleichungen hat man in der Schule halt gelernt: 

\(x^2=1\)   | \( \sqrt()\)

\(x_1=1; x_2=-1\)

Deshalb gilt bei einer Ungleichung noch lange NICHT: 

\(x^2>1\)   | \( \sqrt()\)

\(x_1>1; x_2>-1\)    Dass das als Lösung nicht stimmen kann, würden ja Proben mit z. B. -0,5 oder -2 zeigen. 

Der ausführliche Weg sieht ja stattdessen so aus: 

\(x^2>1\)   | \( \sqrt()\)

\( \vert x \vert > 1\)     Und um die Betragsstriche aufzulösen, braucht es auch hier eine Fallunterscheidung: 

1. Fall: Ist \(x>0\) dann haben die Betragsstriche keine Bedeutung und die Ungleichung sieht so aus:

\(  x > 1\)    Und das ist ja auch schon der erste Teil der Lösung.

2. Fall: Ist \(x<0\) dann löst man die Betragsstriche auf, indem man ein Minus vor den Term setzt, dann sieht die Ungleichung so aus:

\(  -x > 1\)   | \( \cdot(-1)\)   Siehe da, es wird tatsächlich mit Minus multipliziert!

\(x<-1\)

Und damit ergibt sich als Lösung für diese Ungleichung eben \(x<-1\) oder \(  x > 1\) 

Wird es dadurch verständlich? :-)