Wie komme ich auf lösungsmenge

Aufrufe: 1340     Aktiv: 31.10.2020 um 17:01

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Ich verzweifel langsam hier dran. Kann vielleicht jemand für dumme erklären wie ich jetzg auf die lösungsmenge komme ?
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gefragt

Schüler, Punkte: 43

 

Ich finde es gut, dass du nicht aufgibst und verstehen willst. Aber ich finde es nicht so gut, dass du hier bei der Fragestellung wieder zwei Schritte zurück gegangen bist hinter etwas, was vorgestern schon ausführlich erklärt wurde. Jetzt wurde dir insgesamt dreimal ausführlich die Fallunterscheidung erklärt, aber deine eigentlichen Fragen kommen dann erst wieder in den Kommentaren auf. Deshalb ... bevor du die Frage nochmal aufmachst und wieder ganz vorne anfängst ... hast du jetzt verstanden, warum x^2-1<0 die Lösungen hat, die es hat? Und was sonst unklar ist ... jetzt geklärt? Wenn nicht, dann bleib bitte HIER dran oder, wenn du eine neue Frage aufmachst, dann werde bitte präziser hinsichtlich dessen, was nicht klar ist! Bitte nicht falsch verstehen ... nur ist es als Helfer schon frustig, wenn man sich ausführlich Zeit nimmt und versucht deine Fragen zu beantworten, was auch gerne geschieht ... um dann festzustellen, dass auf Erklärungen keine Rückfragen kommen, sondern die Frage einfach neu aufgemacht wird ... und da kommen dann genau dieselben Antworten, um die es ja aber gar nicht geht, erstmal aufwändig wieder ... Also: du darfst hier Rückfragen stellen!!! Wieder und wieder und wieder ... :-)   ─   andima 26.10.2020 um 08:13
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Die Idee, die Brüche links auf den Hauptnenner zu bringen ist schon mal gut.
Also:\({x*(x+1) \over (x-1)*(x+1)} +{2*(x-1) \over (x+1)*(x-1)} \le -{4 \over x^2 -1}\).
Bei der Multiplikation mit \(x^2 -1 \) muss man eine Fallunterscheidung machen 
Fall A: \(x^2 -1 \gt 0 ==> x^2 \gt 1 ==> x\gt1 \text { oder } x\lt -1\)
Fall B: \( x^2-1 \lt 0 ==> x^2 \lt 1 ==> - 1 \lt  x  \lt 1\).
Jetzt wird für Fall A gerechnet: man kann beide Seiten mit \(x^2-1\) multiplizieren ==> \( x*(x+1) + 2*(x-1)= x^2+3x-2 \le -4 ==> (x^2 +3x +2) \le 0\)
Nachschauen wann =0 erfüllt ist \(x_{1,2} = -{3 \over 2} \pm \sqrt {({3 \over 2})^2 -2} = -{3 \over2 } \pm {1 \over 2} ==>  x_1 =-1 ; x_2 = -2\)
==> Die Ungleichung ist im Intervall (-2 | -1] erfüllt
Fall B: bei Multiplikation mit \((x^2-1) \lt 0\) folgt : \( x^2 +3x -2 \ge -4\ ==> x^2 +3x+2 \ge 0\) ==> Die Ungleichung ist im Intervall (-1 | 1 ) erfüllt
Lösungsmenge ist also : Intervall 1=( -2 | -1) + Intervall2  (-1 | +1)

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danke erstmal aber ich hätte ein paar fragen.
1.warum ist bei fall a nach dem ich ja die wurzel ziehe einmal x größer als eins und dann einmal x kleiner als -1 ? man nimmt da doch nix mit minus mal das sich der pfeil ändert.
2. Bei fall b verstehe ich ebenfalls nicht ganz wie man nach dem wurzel ziehen auf x ist kleiner als -1 und kleiner als 1 kommt.
3. warum wird nur bei fall a geschaut wann die ungleichung gleich 0 ist und bei b nicht
  ─   alcapone 26.10.2020 um 00:41

zu deiner Frage 1) da steht : x^2 muss > 1 sein. Frag dich mal, für welche x ist x^2 > 1 ; das sind di x >1 (z.B x=2 ==> x^2 =4) und die x < -1 also z.B x=-2 , denn (-2)^2 =4 und das ist > 1
bei deiner Frage 2 ist es genauso.
zu deiner Frage 3: das ist dieselbe Gleichung. Dann kommen auch dieselben Nullstellen raus
Man muss dann nur schauen, ob die Nullstellen auch zu dem Intervall (-1 | +1)passen.
  ─   scotchwhisky 26.10.2020 um 01:04

warum gehört die -1 nicht zum zweiten intervall wenn man bei fall b -1 einsetzt kommt doch 0 raus ? damit wäre dei gleichung ja noch erfüllt. Es muss ja größer oder gleich 0 sein   ─   alcapone 31.10.2020 um 14:58

Weil dann der Nenner =0 wird und das darf er nicht   ─   scotchwhisky 31.10.2020 um 15:27

reicht es eigentlich wenn nur eine bedingung erfüllt ist ? bei fall a steht ja x muss größer als 1 sein oder x muss kleiner als -1 sein und mit dem intervall ist ja nur eins davon erfüllt   ─   alcapone 31.10.2020 um 15:46

Es müssen beide Bedingungen erfüllt sein. Wenn nicht, würde ja eine der Ungleichungen nicht gelten.
Es reicht aber zur Ablehnung, wenn nur 1 Bedingung nicht erfüllt ist.
  ─   scotchwhisky 31.10.2020 um 17:01

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Wir haben

\( \frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1} \le \frac{-4}{x^2-1} \)

Wir multiplizieren nun beide Seiten der Ungleichung mit \( x^2-1 \). Dabei müssen wir die folgenden zwei Fälle unterscheiden:

Fall 1: \( \vert x \vert > 1 \). Dann ist \( x^2 -1 > 0 \) und somit gilt

\( (\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1})(x^2-1) \le \frac{-4}{x^2-1}(x^2-1) \)

\( \Leftrightarrow \frac{x(x^2-1)}{x-1} + \frac{2(x^2-1)}{x+1} \le -4 \)

\( \Leftrightarrow x(x+1) + 2(x-1) \le -4 \)

\( \Leftrightarrow x^2+3x-2 \le -4 \)

\( \Leftrightarrow x^2+3x+2 \le 0 \)

\( \Leftrightarrow (x+1)(x+2) \le 0\)

Das Produkt \( (x+1)(x+2) \) ist genau dann nicht positiv, wenn einer der Faktoren nicht positiv und der andere nicht negativ ist. Wir müssen hier also nochmals zwei Fälle unterscheiden:

Fall 1.1: \(x+1 \le 0\) und \(x+2 \ge 0\) (und \( \vert x \vert > 1 \)). Dann ist \( x \in [-2,-1) \).

Fall 1.2: \(x+1 \ge 0\) und \(x+2 \le 0\) (und \( \vert x \vert > 1 \)). Dieser Fall kann nicht eintreten, da sonst einerseits \( x \ge -1 \), aber andererseits \( x \le -2 \) sein müsste und das ist unmöglich.

Als Lösungsmenge für Fall 1 erhalten wir somit das Intervall \( [-2,-1) \).

Fall 2: \( \vert x \vert < 1 \). Dann ist \( x^2 -1 < 0 \) und somit gilt

\( (\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1})(x^2-1) \ge \frac{-4}{x^2-1}(x^2-1) \)

\( \Leftrightarrow x(x+1) + 2(x-1) \ge -4 \)

\( \Leftrightarrow x^2+3x+2 \ge 0 \)

\( \Leftrightarrow (x+1)(x+2) \ge 0\)

Diese Ungleichung ist in diesem Fall immer erfüllt, denn für \( \vert x \vert < 1 \) gilt insbesondere \( x \ge -1 \) und somit \( x+1 \ge 0 \) und \( x+2 \ge 0 \), also auch \( (x+1)(x+2) \ge 0 \).

Als Lösungsmenge für Fall 2 erhalten wir demnach das Intervall \( (-1,1) \).

Insgesamt erhalten wir nun aus den beiden Fällen die Lösungsmenge \( L = [-2,-1) \cup (-1,1) = [-2,1) \setminus \{-1\} \).

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warum ist bei dem zweiten intervall (-1,1) ? es könnte doch auch bis unendlich gehen ? es würde doch immer über 0 sein   ─   alcapone 26.10.2020 um 02:00

Im zweiten Fall gilt ja immer \( \vert x \vert < 1 \).   ─   42 26.10.2020 um 02:01

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Zu einer der Fragen aus dem Kommentar einer anderen Antwort: "1.warum ist bei fall a nach dem ich ja die wurzel ziehe einmal x größer als eins und dann einmal x kleiner als -1 ? man nimmt da doch nix mit minus mal das sich der pfeil ändert."

Was hier eventuell für dich zum Verständnisproblem wird, ist, dass du das, was man im Zusammenhang mit reinquadratischen GLEICHUNGEN lernt, nicht einfach auf UNGLEICHUNGEN übertragen kann: 

Bei einer Gleichungen hat man in der Schule halt gelernt: 

\(x^2=1\)   | \( \sqrt()\)

\(x_1=1; x_2=-1\)

Deshalb gilt bei einer Ungleichung noch lange NICHT: 

\(x^2>1\)   | \( \sqrt()\)

\(x_1>1; x_2>-1\)    Dass das als Lösung nicht stimmen kann, würden ja Proben mit z. B. -0,5 oder -2 zeigen. 

Der ausführliche Weg sieht ja stattdessen so aus: 

\(x^2>1\)   | \( \sqrt()\)

\( \vert x \vert > 1\)     Und um die Betragsstriche aufzulösen, braucht es auch hier eine Fallunterscheidung: 

1. Fall: Ist \(x>0\) dann haben die Betragsstriche keine Bedeutung und die Ungleichung sieht so aus:

\(  x > 1\)    Und das ist ja auch schon der erste Teil der Lösung.

2. Fall: Ist \(x<0\) dann löst man die Betragsstriche auf, indem man ein Minus vor den Term setzt, dann sieht die Ungleichung so aus:

\(  -x > 1\)   | \( \cdot(-1)\)   Siehe da, es wird tatsächlich mit Minus multipliziert!

\(x<-1\)

Und damit ergibt sich als Lösung für diese Ungleichung eben \(x<-1\) oder \(  x > 1\) 

Wird es dadurch verständlich? :-)

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