Ja gibt es, allerdings ist dies die Vorgehensweise um Polynome von Funktionstermen zu faltorisieren z.B. bei der Nullstellenberechnung. Dort wird dann immer die Variable $x$ verwendet. Hier haben wir zwar die Variable $n$, welche eigentlich immer für eine beliebige natürliche Zahl steht und man hier kein $n$ findet so dass der Term Null wird, aber von der Idee her zum Ausklammern des Terms funktioniert das genauso.

Man probiert einige einfache Werte für $n$ aus, so dass der Term Null wird. Hier z.B. $n=-1$. Das bedeutet das der Faktor $(n+1)$ Null wird. Nun, falls die größte Potenz größer als zwei ist, verwendet man die Polynomdivision. Man erhält aus:
\[(2n^2+9n^2+13n+6):(n+1)=(2n^2+7n+6)\]
Ist dir klar wie diese funktioniert?

Also ist

\[2n^2+9n^2+13n+6=(n+1)\cdot (2n^2+7n+6)\]

Den quadratischen Term kannst du dann noch faktorisieren wenn du beispielsweise mit der $p$-$q$-Formel die anderen beiden Nullstellen ermittelst und diese entsprechend als Linearfaktoren schreibst.

Ich tue mich mit meiner Antwort eigentlich schwer da wie erwähnt $n$ keine negativen Werte annimmt und wir hier keine Funktion haben. Wenn einer der anderen Helfer noch eine Möglichkeit hat das ohne Polynomdivision und allem zu faktorisieren dann kann ich da auch noch was lernen.

Von einem "System", das IMMER die Lösung (per Hand) liefert, kann man wohl nicht sprechen, aber es gibt "Ideen".
Wenn $2n^3+9n^2+13n+6 = (n+1)(n+2)(2n+3)$ ist, dann sind beide Terme auch für dieselben $n$-Werte null. Der Klammer-Term liefert hier die 3 Werte sofort:
$-1,\; -2,\; -\frac32$.
Daraus folgt die Idee: Man probiere, ob der "auszuklammernde" Term für irgend ein $n$ verschwindet.
Hier geht es natürlich nur um negative Zahlen. Also probieren wir  $n=-1$:
$2n^3+9n^2+13n+6= -2 + 9 -13 +6 =0$.  Treffer!
Jetzt wissen wir, dass der Teilterm $(n+1)$ als Faktor in  $2n^3+9n^2+13n+6$ vorkommt.
Und jetzt kommt die Gewissensfrage:  Kennst du die sog. Polynomdivision?
Dieses Verfahren liefert nämlich den nächsten Schritt:
$(2n^3+9n^2+13n+6):(n+1) = 2n^2 + 7n + 6$
Jetzt suchen wir wieder eine Zahl für $n$, für die  $2n^2 + 7n + 6 = 0$ ist.
Das ist aber mit der "Mitternachtsformel" (oder wie immer ihr die Lösung der quadratischen Gleichung genannt habt) schnell erledigt.

Wie gesagt, das klappt nur in den einfachen Fällen - also in den Aufgaben, die man sich für Schüler ausdenkt. Der allgemeine Fall, wenn die zu erratenden Zahlen nicht mehr so schön ganzzahlig oder einfache Brüche sind und insbesondere wenn $n^k$ für $k\geq5$ vorkommt, muss man "höhere" Methoden anwenden. Die gibt es aber - wie man an den tollen CAS (s. mathematica etc.) sehen kann.

Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen.

Das Problem tritt bei ungeschicktem Vorgehen im Induktionsschritt für den Nachweis der Formel für $\sum i^2$ auf.
Daher:
Stets die Induktionsbehauptung vollständig hinschreiben.
Dann beim Umformen öfter dorthin schauen, das ist nämlich das Ziel. Und dann sieht man, dass man den Faktor (n+1) schon hat, den man für die Ind.Beh. auch benötigt, also klammert man den schonmal aus. Dann bleibt nur noch ein quadratischer Ausdruck zu vergleichen.
Ausmultiplizieren tut man  nur, wenn es auch sinnvoll ist. Nicht einfach aus blindem Reflex, weil dann vermeintlich alles einfacher wird. Oft ist das Gegenteil der Fall. In diesem Fall hast Du Dir Dein Problem selbst eingehandelt.
Nächstes Mal gib bitte gleich den Zusammenhang Deiner Frage und alle Infos mit an..