Beweis, dass x^n ungerade ist, wenn x ungerade ist

Aufrufe: 410     Aktiv: 07.11.2021 um 00:16
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Guten Tag an alle, ich hänge gerade etwas bei dem Beweis, dass wenn x ganzzahlig und ungerade ist, auch x^n ungerade ist, wobei n eine natürliche Zahl ist. Ich kenne und verstehe den Beweis für n = 2, also das ungerade Zahlen auch ungerade Quadrate haben, aber dadurch, dass n jetzt eine beliebige natürliche Zahl ist, funktioniert ja dieser nicht mehr. An sich ist mir auch klar, dass die Aussage stimmt, aber ich habe Schwierigkeiten einen korrekten, formalen Beweis zu konstruieren. 

Ich hoffe jemand kann mir einen Denkanstoß bzw. einen Tipp geben, wie ich diesen Beweis angehen kann.
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ich würde es mit Induktion machen, das bietet sich denke ich and, oder sonst per binomischen Lehrsatz, das geht auch ganz gut   ─   fix 06.11.2021 um 17:34
Aber müsste für Induktion nicht x bestimmt sein ? Laut Aufgabe ist x ja eine beliebige ungerade ganze Zahl   ─   anonymc1cc3 06.11.2021 um 18:27
wie cauchy schon geschrieben hat ist x=2k+1. Wenn dir zur Induktion nichts einfällt, machs über das binomische Theorem   ─   fix 06.11.2021 um 18:57
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Nein, $x$ muss nicht bestimmt sein. Da $x$ aber ungerade ist, kann man $x=2k+1$ für $k\in\mathbb{N}$ schreiben. Dass man sowas machen kann, sollte man wissen. Denn wenn es darum geht, Beweise für gerade oder ungerade Zahlen zu führen, wird diese Darstellung entsprechend genutzt.
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