Also der Gedanke ist wie folgt:

nachdem die Induktionsvoraussetzung eingesetzt wurde hast du bis dahin folgendes abgeschätzt:

\(\displaystyle{\sum_{k=n+2}^{3n+3} \dfrac{1}{k} \geq \dfrac{5}{6}+}\) Restterm

Damit musst du nur noch den Restterm nach unten gegen Null abschätzen damit (was du zeigen möchtest) die Summe \(\geq \dfrac{5}{6}\) ist. 
Im letzten Schritt werden die ersten beiden Brüche nach unten abgeschätzt. (Ein Beuch wird Kleiner wenn der Nenner größer wird. Somit werden sowohl \(\dfrac{1}{3n+1}\) als auch \(\dfrac{1}{3n+2}\) als echt größer als \(\dfrac{1}{3n+3}\) abgeschätzt. Damit hast du dann \(\dfrac{1}{3n+3} + \dfrac{1}{3n+3} +\dfrac{1}{3n+3}\) also \(3\cdot \dfrac{1}{3n+3}\). Der Rest fällt genau zu Null weg. Damit ist der Restterm von oben als größer gleich Null und du hast den Induktionsschritt gezeigt.

Hoffe das hilft dir weiter.