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Hallo,
die Formel
\( L(\gamma) = \int_a^b \Vert \dot{\gamma} (t) \Vert dt \)
beschreibt die Weglänge. Also brauchen wir die Ableitung unserer parametrisierten Kurve.
\( \gamma (t) = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3 \end{pmatrix} \)
Damit ergibt sich die zeitliche Ableitung zu
\( \dot{\gamma} (t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2 \end{pmatrix} \)
Die Länge dieses Vektors ergibt sich zu
\( \Vert \dot{\gamma} (t) \Vert = \sqrt{(2t)^2 + (3t^2)^2} = \sqrt{4t^2 + 9t^4} \)
Wir erhalten also
\( L(\gamma) = \int_0^a t \cdot \sqrt{4 + 9t^2} dt \)
Dieses Integral gilt es nun zu lösen.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.77K
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a) und b) sind korrekt. Bei der c) lässt du auf einmal die Quadrate vom Sinus und Kosinus weg. Hier kannst du den selben Trick wie bei der b) anwenden
\( \sqrt{ \frac {r^2 \sin^2 ( \frac t {a})} {a^2} + \frac {r^2 \cos^2 (\frac t a)} {a^2} + \frac 1 {a^2} } = \sqrt{\frac {1} {a^2} (r^2\sin^2(\frac t a) +r^2 \cos^2(\frac t a) +1) } = \sqrt{\frac {r^2 +1} {a^2}} \) ─ christian_strack 06.05.2019 um 15:19
\( \sqrt{ \frac {r^2 \sin^2 ( \frac t {a})} {a^2} + \frac {r^2 \cos^2 (\frac t a)} {a^2} + \frac 1 {a^2} } = \sqrt{\frac {1} {a^2} (r^2\sin^2(\frac t a) +r^2 \cos^2(\frac t a) +1) } = \sqrt{\frac {r^2 +1} {a^2}} \) ─ christian_strack 06.05.2019 um 15:19
Achja mit \( a = \sqrt{r^2 +1} \) erhalten wir sogar
\( \sqrt{ \frac {r^2 +1} {a^2} } = \sqrt {\frac {r^2 +1} {r^2+1} } = \sqrt{1} = 1 \) ─ christian_strack 06.05.2019 um 15:53
\( \sqrt{ \frac {r^2 +1} {a^2} } = \sqrt {\frac {r^2 +1} {r^2+1} } = \sqrt{1} = 1 \) ─ christian_strack 06.05.2019 um 15:53
Ahh top vielen Dank ich habs jetzt. Aus etwas komplizierten wird was einfaches. :-)
Vielen Dank!!!!! ─ wizzlah 06.05.2019 um 19:24
Vielen Dank!!!!! ─ wizzlah 06.05.2019 um 19:24
Manchmal echt erstaunlich ;)
Sehr gerne :) ─ christian_strack 06.05.2019 um 19:25
Sehr gerne :) ─ christian_strack 06.05.2019 um 19:25
Könntest du meine Lösungen noch kontrollieren?
Bei der c bin ich mir nicht sicher, ob ich da noch was vereinfachen könnte, denn ansosnten wäre das zu berechnende Integral so wie es mir erscheint recht aufwendig zu berechnen. :-) ─ wizzlah 05.05.2019 um 22:45