Monotonie Analysis I

Aufrufe: 238     Aktiv: 26.11.2023 um 22:05

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Hi Leute,

die Aufgabe sieht irgendwie leicht aus, aber auch irgendwie verwirrend wenn ich die Zeigen will. Bei der 2a) bräuchte ich eventuell hilfe. 

Definition Isoton (monoton wachsend) aus unserem Skript: isoton auf A genau dann, wenn ∀ x, y ∈ A : x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)

Ich habe mithilfe der Def. f und g aufgestellt, kein Problem. Aber wenn ich f mit g verknüpfe ist es ja f(g(x)). Wir wissen das g auch monoton wachsend ist, also nach definition g(x)≤g(y). Jetzt will ich das für fog(x) zeigen. Ich habe kurz mal g(x)=x und g(y)=y definiert. Jetzt anders geschrieben x≤y.

Aus definition wissen wir: ∀ x, y ∈ A : x < y ⇒ f(x) ≤ f(y), aber hier in dem Fall   

                                                                                           ∀ x, y ∈ A : x ≤ y ?⇒? f(x) ≤ f(y).
Jetzt ist ja g(x)=x≤y=g(y) und nun weiß ich nicht was das bedeuten soll? Ich das jetzt ein Widerspruch oder was ist das? Habe ich mich vertan?

Ich würde mich um Hilfe freuen.

LG
Mo


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Student, Punkte: 28

 
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Nennen wir $h=f\circ g$. Jetzt zeige für $x<y$, dass $h(x) \leq h(y)$ gilt. Schreibe das ganz sauber auf.
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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 

Irgendwie komme ich nicht weiter. Ich weiß ja aus der Definition, dass ∀ x, y ∈ B : x < y ⇒ f(x) ≤ f(y) sein muss, damit es monoton wachsend ist.
h müsste = f∘g=f(g(x)) wenn ich das richtig verstanden habe. Aus der Aufgabe wissen wir bereits g ist monoton wachsend, also ∀ x, y ∈ A : x < y ⇒ g(x) ≤ g(y).
Wenn ich die monotonie für f∘g aufstellen will dann ist es ja ∀ x, y ∈ A : g(x) ≤ (g(y) ?⇒? f(g(x)) ≤ f(g(y)). Oder verstehe ich das falsch?
  ─   hiimmomo 26.11.2023 um 21:06

Das ist genau richtig.   ─   cauchy 26.11.2023 um 22:05

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Achte genau aus welchen Mengen deine Elemente kommen und nutze nicht die gleichen Variablenbezeichnungen für zwei verschiedene Dinge. Deswegen ist sowas wie $g(x)=x$ in dem Zusammenhang falsch. Überlege dir von wo nach wo die Verkettung abbildet und versuche die Definition von monoton wachsend aufzuschreiben, dann wirst du schnell merken wann du welche Voraussetzung benutzen musst.
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