Kommutativität von Vielfachem der Einheitsmatrix

Aufrufe: 229     Aktiv: 21.06.2023 um 15:12

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Hey,  kann mir hier bitte jemand helfen? Ich verstehe glaube ich in etwa, wieso das gilt, kann mir aber keinen formalen Beweis herleiten.

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Blöde Frage: Müsste es bei teil $b)$ nicht $B=\lambda E_n$ sein? Ansonsten heißt es ja: Wenn für alle $A \in \text{Mat}$ das gilt, dann muss $A=\lambda E_n$ sein. Wirkt irgendwie sus auf mich oder ich stehe auf dem Schlauch.   ─   crystalmath 20.06.2023 um 21:23

Sieht ganz nach einem Tippfehler aus, joa. Sehe ich auch so.   ─   cauchy 20.06.2023 um 21:43
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1 Antwort
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Setze für $E_n=AA^{-1}$ bzw. andersherum ein. - Funktioniert natürlich nicht, da $A$ nicht regulär sein muss. 

Aber: $E_n$ ist neutrales Element im Matrizenring $\mathrm{Mat}(n\times n, \mathbb{K})$. Was folgt daraus?
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$A$ ist leider nicht zwangsweise invertierbar laut Aufgabenstellung.   ─   crystalmath 20.06.2023 um 21:21

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Stimmt. Aber geht ja noch viel einfacher... Ich passe die Antwort an.   ─   cauchy 20.06.2023 um 21:27

Also ich kann mir das schon vorstellen glaube ich... Die Einheitsmatrix ist ja die Matrix mit einer Diagonale von Einsen und wenn die jetzt durch vielfache multipliziert werden, ändert das ja erstmal nichts an der kommutativität der Matrix. Mir ist aber nicht klar, wie ich das jetzt mathematisch übersetzen kann. Danke schonmal   ─   user81b195 21.06.2023 um 14:38

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Ein neutrales Element muss rechts- und linksneutral sein. Ich will dir das jetzt nicht in mathematische Schreibweise übersetzen, da das fast schon die Lösung ist.   ─   crystalmath 21.06.2023 um 14:57

Es geht hier um den Matrizenring (mache dir notfalls nochmal klar, was ein Ring ist) und das neutrale Element. Wie ist das neutrale Element in einem Ring definiert? Das muss du bei a) nur anwenden und es steht dann da.   ─   cauchy 21.06.2023 um 15:12

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