Aufleiten von Tangens

Aufrufe: 46     Aktiv: 12.02.2021 um 13:31

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Hallo, es wäre wirklich sehr nett, wenn mir jemand ausführlich meine Frage beantworten könnte:

Integral von 0 bis (pi/4) von (tanx)^n*(tan(x)^2+1) dx

ich weiß, dass (tan(x)^2+1) die Ableitung von tanx ist. Aber jetzt muss ich noch tanx^n aufleiten.
Ich habe versucht, dass mit der partiellen Integration aufzuleiten. Aber irgendwie schaff ich das nicht.

u: tan(x)^n   u': n*tan(x)^n-1*(tan^2(x)+1)
v: tan(x)       v': tan^2(x)+1

dann [ tanx^n * tan (x)] - Integral tanx*(ntan(x)^n-1)*(tan^2(x)+1)

Als Lösung kommt tanx^n+1/n+1 raus, aber ich weiß nicht wie die darauf kommen


wie leite ich den tan(x)^n ab? und wie leite ich es auf? Ich habe schon ein paar Videos dazu angesehen,aber ich weiß es immer noch nicht.

Vielen Dank im Voraus!
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Student, Punkte: 20

 

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1 Antwort
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Also deine Ansätze sind super!
Partielle Integration ist hier genau richtig.
Wie du sagst, brauchst du die ABleitung von \((\tan(x))^n\)
Hier musst du die Kettenregel (und die Potenzregel) benutzen.
Also ist die Ableitung \(n\cdot (\tan(x))^{n-1}\cdot (\tan(x))'\)

Hoffe das hilft dir schon!
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Punkte: 1.36K
 

Aufleiten musst du es nicht!   ─   math stories 12.02.2021 um 12:55

Wenn du alles in die Partielle Integration einsetzt, vergleiche mal die beiden Integrale (auf der linken Seite des Gleichheitszeichen mit der rechten Seiten!) Du kannst sie mal auf eine Seite bringen! :)   ─   math stories 12.02.2021 um 12:58

also wie vorher schon geschrieben, habe ich das hier erhalten:

[ tanx^n * tan (x)] - Integral tanx*(ntan(x)^n-1)*(tan^2(x)+1)

aber das integral wieder zu integrieren ist ja ein Graus

  ─   trivial1603 12.02.2021 um 13:08

Das musst du hier gar nicht tun! :)   ─   math stories 12.02.2021 um 13:12

Vergleiche mal die beiden Integrale. Die sehen sehr ähnlich aus! Das \(n\) kannst du vor das Integralzeichen ziehen.   ─   math stories 12.02.2021 um 13:13

\(1\cdot \int (\tan(x))^n\cdot (\tan(x)^2+1) dx = \tan(x)^{n+1} - n\cdot \int (\tan(x))^n\cdot (\tan(x)^2+1) dx\)   ─   math stories 12.02.2021 um 13:15

Links steht 1 mal das Integral und rechts n mal. Bringe das mal auf eine Seite! :)   ─   math stories 12.02.2021 um 13:21

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Ahh jetzt, so habe ich das ehrlich gesagt noch nie gemacht, deswegen hab ichs auch nicht gecheckt!!
Danke dir ! Super :))
  ─   trivial1603 12.02.2021 um 13:29

Sehr gern!
Ja, manchmal bist du schon nach einmal Partielle Integration anwenden quasi fertig! :)
  ─   math stories 12.02.2021 um 13:31

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