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Außer der Eigenschaft \( \psi(x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 \) erfüllt \( \psi \) schon alle Eigenschaften eines Skalarprodukts, egal was der Kern von \(f\) ist. Das kann man relativ mühelos nachrechnen. Also ist \( \psi \) genau dann ein Skalarprodukt, wenn die Eigenschaft \( \psi(x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 \) auch noch erfüllt ist.
Es gilt folgende Äquivalenz
\( \psi(x,x)=0 \Leftrightarrow \varphi(f(x),f(x))=0 \Leftrightarrow f(x)=0 \Leftrightarrow x \in Kern(f) \)
Die Bedingung \( \psi(x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 \) ist also äquivaltent zur Bedingung \( Kern(f)=\{0\} \) und somit ist \(\psi\) genau dann ein Skalarprodukt, wenn \( Kern(f) = \{0\} \) ist.
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Student, Punkte: 7.02K
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Genau, die Äquivalenz der Bedingungen zeigt beide Richtungen und ergibt sich aus \( \psi (x,x) = 0 \Leftrightarrow x \in Kern(f) \) wie folgt: Wenn \( \psi (x,x) = 0 \Leftrightarrow x=0 \) gilt, dann folgt \( x \in Kern(f) \Leftrightarrow \psi (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow x \in \{ 0 \} \), also \( Kern(f) = \{ 0 \} \). Wenn andererseits \( Kern(f) = \{ 0 \} \) ist, dann folgt \( \psi (x,x) = 0 \Leftrightarrow x \in Kern(f) = \{ 0 \} \Leftrightarrow x=0 \).
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23.06.2020 um 17:34
Vielen Dank nochmal für die Erklärung. Ich habe jetzt alles verstanden :D
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peterneumann
23.06.2020 um 22:50
Gut. Sehr gerne :)
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23.06.2020 um 23:05
Erstmal vielen Dank für deine Antwort :) Das mit den Eigenschaften war mir soweit klar, da bin ich später noch drauf gekommen. Das nachrechnen war bei mir ein wenig das Problem, da mir das Vorgehen nicht ganz klar war. Dein Beweis erscheint mir auch echt schlüssig und sogar sehr einfach. Da du die Äquivalenz der beiden Gleichungen zeigst deckst du quasi beide Richtungen ab oder? Bei mir wurden Beweise selten mit Äquivalenzpfeilen geführt sondern immer nur mit ... daraus folgt und so weiter, darum frage ich lieber zur Sicherheit nochmal nach :)
Dennoch vielen Dank dir :D ─ peterneumann 23.06.2020 um 09:31