So ist es nicht ganz korrekt. Die Aussage dieser angepassten Basis, wie du sie zitierst, ist falsch. Woher willst du denn wissen, dass es überhaupt ein \(v_i\) mit \(v_i\in U\) gibt? z.B. ist \(\binom10,\binom01\) eine Basis von \(\mathbb R^2\), aber enthält keine Basis von \(\langle\binom11\rangle\). Die Aussage, an die du gedacht hast, lautet wahrscheinlich: "Eine Basis von \(U\) lässt sich zu einer Basis von \(V\) ergänzen" bzw. "Es gibt eine Basis von \(V\), die eine Basis von \(U\) enthält" was ein großer Unterschied zu "Jede Basis von \(V\) enthält eine Basis von \(U\)" ist, was du benutzen wolltest.
Man muss auf jeden Fall die Voraussetzung \(f(U)\subseteq U\) verwenden (es ist oft ein Indikator, dass man etwas falsch macht, wenn man eine Voraussetzung nicht verwendet), der Beweis ist nicht ganz einfach.
Kennst du Minimalpolynome und ihre Eigenschaften? Dann versuche, damit zu argumentieren. Wenn nicht, dann geht es z.B. so: Seien \(\lambda_i,\ 1\leq i\leq m\) die paarweise verschiedenen Eigenvektoren mit zugehörigem Eigenraum \(E_i\). Da \(f\) diagonalisierbar ist, gilt \(V=E_1\oplus\ldots\oplus E_m\) und \(u\in U\) lässt sich auf eindeutige Weise zerlegen als \(u=u_1+\ldots+u_m\) mit \(u_i\in E_i\). Zeige nun \(u_i\in U\) für alle \(i\) (Betrachte hierfür \(\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(f-\lambda_kid_V)\right)(u)\) und verwende \(f(U)\subseteq U\)), dann folgt \(U=(E_1\cap U)\oplus\ldots\oplus(E_m\cap U)\), also die Diagonalisierbarkeit von \(f\) über \(U\).