Question

Wie beweise ich dass diese Funktion diagonalisierbar ist?

Aufrufe: 836 Aktiv: 04.03.2021 um 11:09

1

Hallo Zusammen

Hätte nochmals kurz eine Frage zur linearen Algebra. es geht um folgende Aufgabenstellung

Wir haben $f:V\rightarrow V$ ein Endomorphismus wobei $dim(V)$ endlich ist. Es gilt, dass $U\subset V$ ein Untervektorraum ist so dass $f(U)\subset U$. Weiter wird der induzierte Endomorphismus mit $f_U:U\rightarrow U$ definiert.
Man soll zeigen dass falls $f$ diagonalisierbar ist $\Rightarrow f_U$ ist auch diagonalisierbar.

Ich habe mir gedacht ich mache es über das kriterium, dass jeder Vektorraum eine Basis angepasste Basis für deinen Untervektorraum hat bin mir aber nicht sicher ob das so geht.

PS: Sorry dass ich es auf Englisch gemacht habe, ich kenne in Linalg nicht alle Begriffe auf Deutsch, da die Vorlesung in Englisch ist. Ich hoffe ihr könnt meine Schrift trotzdem lesen und versteht was ich meine da mein Englisch nicht glänzend ist.

Teilen Diese Frage melden

gefragt 01.03.2021 um 20:34

karate
Student, Punkte: 1.95K

Kommentar schreiben

1 Antwort

stal · Accepted Answer · 2021-03-02T09:59:20Z

2

So ist es nicht ganz korrekt. Die Aussage dieser angepassten Basis, wie du sie zitierst, ist falsch. Woher willst du denn wissen, dass es überhaupt ein $v_i$ mit $v_i\in U$ gibt? z.B. ist $\binom10,\binom01$ eine Basis von $\mathbb R^2$, aber enthält keine Basis von $\langle\binom11\rangle$. Die Aussage, an die du gedacht hast, lautet wahrscheinlich: "Eine Basis von $U$ lässt sich zu einer Basis von $V$ ergänzen" bzw. "Es gibt eine Basis von $V$, die eine Basis von $U$ enthält" was ein großer Unterschied zu "Jede Basis von $V$ enthält eine Basis von $U$" ist, was du benutzen wolltest.
Man muss auf jeden Fall die Voraussetzung $f(U)\subseteq U$ verwenden (es ist oft ein Indikator, dass man etwas falsch macht, wenn man eine Voraussetzung nicht verwendet), der Beweis ist nicht ganz einfach.
Kennst du Minimalpolynome und ihre Eigenschaften? Dann versuche, damit zu argumentieren. Wenn nicht, dann geht es z.B. so: Seien $\lambda_i,\ 1\leq i\leq m$ die paarweise verschiedenen Eigenvektoren mit zugehörigem Eigenraum $E_i$. Da $f$ diagonalisierbar ist, gilt $V=E_1\oplus\ldots\oplus E_m$ und $u\in U$ lässt sich auf eindeutige Weise zerlegen als $u=u_1+\ldots+u_m$ mit $u_i\in E_i$. Zeige nun $u_i\in U$ für alle $i$ (Betrachte hierfür $\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(f-\lambda_kid_V)\right)(u)$ und verwende $f(U)\subseteq U$), dann folgt $U=(E_1\cap U)\oplus\ldots\oplus(E_m\cap U)$, also die Diagonalisierbarkeit von $f$ über $U$.

Teilen Diese Antwort melden Link

geantwortet 02.03.2021 um 09:59

stal
Punkte: 11.27K

okei vielen dank ich schaue es mir gerade an und versuche es nachzuvollziehen, wieso gilt das mit der direkten Summe wenn f diagonalisierbar ist?
Nun verstehe ich auch noch nicht ganz was das mit diesem endlichen Produkt auf sich hat, wie kommt man auf diese Idee bzw von wo kommt dieses Produkt? ─ karate 02.03.2021 um 12:56

Per Definition ist eine Abbildung diagonalisierbar, wenn sich jeder Vektor als Linearkombination von Eigenvektoren schreiben lässt. Das bedeutet nichts anderes, als dass die Summe der Eigenräume ganz $V$ ist (die Direktheit der Summe ist sowieso klar, da zwei verschiedene Eigenräume stets trivialen Schnitt haben).
Das Produkt steht natürlich für Funktionskomposition, die Idee ist, alle Summanden $u_i$ bis auf einen wegzubekommen. ─ stal 02.03.2021 um 13:47

sorry sehe noch nicht ganz den punkt wieso ich mittels dieser Funktionenkomposition zeigen kann, dass $u_i \in U$ liegt ─ karate 02.03.2021 um 13:58

Betrachten wir mal $i=1$. Was ist $(f-\lambda_2id_V)(u_2)=f(u_2)-\lambda_2id_V(u_2)$? Was ist dann $\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(f-\lambda_kid_V)\right)(u_2)$. Ähnlich berechnest du $\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(f-\lambda_kid_V)\right)(u_j)$ für $j>2$. Für $j=1$ kommt was anderes raus, das kannst du dir selbst überlegen. Der Wert an der Stelle $u$ ergibt sich dann als Summe aller Einzelwerte. Da sowohl $f$ als auch $\lambda id_V$ $U$-invariant sind, gilt das auch für ihre Differenz und dann für ihr Produkt, d.h. du weißt dann, dass das Resultat wieder in $U$ liegt. Kombiniert folgt dann $u_i\in U$.
Wie gesagt, ohne Minimalpolynome ist der Beweis wirklich nicht einfach. ─ stal 02.03.2021 um 16:33

Okei muss zugeben ich komme hier wirklich nicht mit, und die Minimalpolynome kennen wir leider auch nicht. ─ karate 02.03.2021 um 17:26

Sei wieder $i=1$. Es ist doch $(f-\lambda_2id_V)(u_2)=f(u_2)-\lambda_2id_V(u_2)=\lambda_2u_2-\lambda_2u_2=0$, da $u_2\in E_2$. Da Homomorphismen die 0 immer auf die 0 schicken, ist dann auch $\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(f-\lambda_kid_V)\right)(u_2)=0$. Da Homomorphismen, die eine gleiche Basis aus Eigenvektoren haben, kommutieren, (oder durch direkte Rechnung) folgt analog auch $\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(f-\lambda_kid_V)\right)(u_j)=0$ für $j>2$. Für $j=1$ hingegen ist $f-\lambda_kid_V)(u_1)=(\lambda_1-\lambda_2)u_1$ und mit der Linearität kannst du immer den Vorfaktor herausziehen, sodass $\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(f-\lambda_kid_V)\right)(u_1)=\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(\lambda_k-\lambda_1)\right)u_1$. Wie ich oben beschrieben habe, wissen wir $$U\ni\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(f-\lambda_kid_V)\right)(u)=\sum_{j=1}^n\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(f-\lambda_kid_V)\right)(u_j)=\left(\prod_{k=1,k\neq i}^m(\lambda_k-\lambda_1)\right)u_1$$ und damit auch $u_1\in U$. Für alle anderen $i$ geht es völlig analog.

─ stal 02.03.2021 um 17:42

@ stal
Ich habe eine Frage dazu, bin auch gerade bei einer solchen Aufgabe.
Wenn E$_{1} $ ein Eigenraum von V ist, ist dann ( E$_{1} $ ∩ U ) = E$_{1} $ falls der Eigenraum auch ein Eigenraum von U ist , oder kreiert es einen "neuen" Eigenraum A$_{1}$ so dass A$_{1}$ c E$_{1} $ ? Ich hoffe man versteht was ich meine :D ─ bünzli 02.03.2021 um 18:23

okei vielen dank.
─ karate 02.03.2021 um 18:30

@bünzli das ist aber lustig, dass du die gleiche Aufgabe hast wie ich ein wahrer Zufall:)
─ karate 02.03.2021 um 18:33

@bünzli Es ist beides möglich. Entweder es ist $E_1\cap U=E_1$, falls $E_1\subseteq U$, oder $E_1\cap U\subsetneq E_1$ ist ein Untervektorraum von $E_1$, der einen Eigenraum bzgl. $f_U$ darstellt. ─ stal 04.03.2021 um 11:09

Kommentar schreiben