Allgemeine Ableitung von Umkehrfunktion

Aufrufe: 104     Aktiv: 19.04.2021 um 14:11

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Hallo liebe Community,
 
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und mir einen Denkanstoß bzw. die Herangehensweise bzgl. dieser Angabe geben, da ich nicht ganz verstehe, was genau mein Professor hier von mir möchte.
Vorallem frage ich mich, wie ich die Kettenregel anwenden soll.
 
Danke im voraus!
gefragt

Punkte: 31

 

Warum löschst du deine andere Frage, wo bereits genau das beantwortet wurde?   ─   cauchy 18.04.2021 um 23:38

Ich habe die Frage eine Minute nach Upload gelöscht (dabei habe ich noch keine Antworten vorgefunden), da beim Upload die Seite nicht neu geladen wurde und ich dachte, dass er nicht richtig funktioniert hat. Deswegen habe ich sie noch einmal hochgeladen und eine genauere Überschrift gewählt. Da wird wohl ein Bug im System bei der Synchronisation vorliegen. Es tut mir leid, falls Sie noch bei einer schon gelöschten Frage kommentieren konnten.   ─   testran 19.04.2021 um 13:38

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1 Antwort
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Moin,
zunächst solltest du hierbei die Definition der Umkehrfunktion verwenden: \(f^{-1}(f(x))=x\)
Dann kannst du, wie vorgegeben auf beiden Seiten differenzieren, indem du links die Kettenregel anwendest:
\(f'^{-1}(f(x))\cdot f'(x)\) = 1
Nun musst du nur noch nach \(f'^{-1}(x)\) umstellen. Dazu eignet sich die Substitution \(x=f^{-1}(x)\). Nach einsetzten und umformen ergibt sich:
\(f'^{-1}(x)=\frac {1} {f'(f^{-1}(x))}\)
Wenn wir das nun für das gegebene Beispiel verwenden bedeutet dies:
\(f(x)=\sin x, f'(x)=\cos x, f^{-1}(x)=\arcsin x\)
Nun muss man nur noch einsetzten und erhält:
\(f'^{-1}(x)=\frac {1} {\cos( \arcsin (x))} \)
Beim Definitionsbereich ist es nun sinnvoll für alle Funktion den Definitionsbereich von \(\arcsin x\) zu verwenden, also \(-1 \le x \le 1\).
Grüße 
Fix
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Schüler, Punkte: 415
 

Super, dass man dem Fragesteller nun die Lösung präsentiert, während dieser die andere Frage einfach mal gelöscht hat, wo ihm schon Ansätze vorgeschlagen wurden.   ─   cauchy 18.04.2021 um 23:39

Sorry wenn ich ihn irgendwie missverstanden habe, es schien mir jedoch so, dass er nach der Lösung für die Aufgabe gesucht hat. Da ein einfacher Tipp, der durch die Aufgabenstellung schon gegeben war, nämlich einfach zu differenzieren schon gegeben war und er die Frage dennoch gestellt hat ging ich davon aus dass die gesamte Lösung zu präsentieren sinnvoller wäre als nur ein weiterer Tipp.
PS:Ich wusste nicht, dass er die Frage bereits gestellt hatte.
  ─   fix 18.04.2021 um 23:43

Die komplette Lösung ist nie hilfreich, weil man dadurch nichts lernt, da einem jeglicher Anreiz genommen wird, es selbst mal auszuprobieren. Und am besten lernt und versteht man die Dinge, indem man es selbst macht! Die Tatsache, dass er die bereits beantwortete Frage wieder gelöscht hat, zeigt aber auch nur, dass er lediglich die Lösung haben möchte. Das ist aber nicht im Sinne dieses Forums. Ihre Hausaufgaben sollen die Leute schon noch selbst machen.   ─   cauchy 18.04.2021 um 23:58

Wieso sollte ich Lösungsansätze löschen? Diese würden jedem/jeder weiterhelfen. Außerdem vergleichen Sie mal die jeweiligen Uhrzeiten! Es liegen 2 Minuten zwischen den Uploads der jeweiligen Fragestellungen.   ─   testran 19.04.2021 um 13:48

@fix danke für die hilfreiche Antwort   ─   testran 19.04.2021 um 14:11

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