(Twitter)
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Moin,
zunächst solltest du hierbei die Definition der Umkehrfunktion verwenden: \(f^{-1}(f(x))=x\)
Dann kannst du, wie vorgegeben auf beiden Seiten differenzieren, indem du links die Kettenregel anwendest:
\(f'^{-1}(f(x))\cdot f'(x)\) = 1
Nun musst du nur noch nach \(f'^{-1}(x)\) umstellen. Dazu eignet sich die Substitution \(x=f^{-1}(x)\). Nach einsetzten und umformen ergibt sich:
\(f'^{-1}(x)=\frac {1} {f'(f^{-1}(x))}\)
Wenn wir das nun für das gegebene Beispiel verwenden bedeutet dies:
\(f(x)=\sin x, f'(x)=\cos x, f^{-1}(x)=\arcsin x\)
Nun muss man nur noch einsetzten und erhält:
\(f'^{-1}(x)=\frac {1} {\cos( \arcsin (x))} \)
Beim Definitionsbereich ist es nun sinnvoll für alle Funktion den Definitionsbereich von \(\arcsin x\) zu verwenden, also \(-1 \le x \le 1\).
Grüße
Fix
zunächst solltest du hierbei die Definition der Umkehrfunktion verwenden: \(f^{-1}(f(x))=x\)
Dann kannst du, wie vorgegeben auf beiden Seiten differenzieren, indem du links die Kettenregel anwendest:
\(f'^{-1}(f(x))\cdot f'(x)\) = 1
Nun musst du nur noch nach \(f'^{-1}(x)\) umstellen. Dazu eignet sich die Substitution \(x=f^{-1}(x)\). Nach einsetzten und umformen ergibt sich:
\(f'^{-1}(x)=\frac {1} {f'(f^{-1}(x))}\)
Wenn wir das nun für das gegebene Beispiel verwenden bedeutet dies:
\(f(x)=\sin x, f'(x)=\cos x, f^{-1}(x)=\arcsin x\)
Nun muss man nur noch einsetzten und erhält:
\(f'^{-1}(x)=\frac {1} {\cos( \arcsin (x))} \)
Beim Definitionsbereich ist es nun sinnvoll für alle Funktion den Definitionsbereich von \(\arcsin x\) zu verwenden, also \(-1 \le x \le 1\).
Grüße
Fix
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fix
Student, Punkte: 3.82K
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Sorry wenn ich ihn irgendwie missverstanden habe, es schien mir jedoch so, dass er nach der Lösung für die Aufgabe gesucht hat. Da ein einfacher Tipp, der durch die Aufgabenstellung schon gegeben war, nämlich einfach zu differenzieren schon gegeben war und er die Frage dennoch gestellt hat ging ich davon aus dass die gesamte Lösung zu präsentieren sinnvoller wäre als nur ein weiterer Tipp.
PS:Ich wusste nicht, dass er die Frage bereits gestellt hatte. ─ fix 18.04.2021 um 23:43
PS:Ich wusste nicht, dass er die Frage bereits gestellt hatte. ─ fix 18.04.2021 um 23:43
Wieso sollte ich Lösungsansätze löschen? Diese würden jedem/jeder weiterhelfen. Außerdem vergleichen Sie mal die jeweiligen Uhrzeiten! Es liegen 2 Minuten zwischen den Uploads der jeweiligen Fragestellungen.
─
testran
19.04.2021 um 13:48
@fix danke für die hilfreiche Antwort
─
testran
19.04.2021 um 14:11