Die Funktion hat eine Nullstelle in \([0,1]\), weil sie stetig ist und in diesem Intervall das Vorzeichen wechselt. Außerdem ist sie strikt isoton, da die Ableitung strikt positiv ist, sodass es nicht mehr als eine Nullstelle geben kann.
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Ich habe im Skript die Definition gefunden :
Kontraktion bei einer Funktion gilt, wenn folgendes gilt :
\( \forall x_1, x_2 \in D\) : \( |f(x_2) - f(x_1)| \leq q |x_2 - x_1| \)
\( \Leftrightarrow | \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} | \leq q \)
Wenn ich das aber einsetze komme ich auf einen Ausdruck bei dem ich \( x_2 - x_1\) nicht wegkürzen kann und es somit nicht zeigen kann.
─ wizzlah 02.03.2020 um 19:39
Seien \(x,y\in[0,1]\), o.B.d.A. \(x\geq y\). Dann ist
\(T(x)-T(y)=\frac45x-\frac{4x-5}{5x^4+5}-\frac45y+\frac{4y-5}{5y^4+5}\leq\frac45(x-y)-\left(\frac{4x-5}{5y^4+5}-\frac{4y-5}{5y^4+5}\right)=\frac45(x-y)\left(1-\frac1{y^4+1}\right)\leq\frac45(x-y).\) ─ sterecht 03.03.2020 um 09:21