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Die Funktion hat eine Nullstelle in \([0,1]\), weil sie stetig ist und in diesem Intervall das Vorzeichen wechselt. Außerdem ist sie strikt isoton, da die Ableitung strikt positiv ist, sodass es nicht mehr als eine Nullstelle geben kann.
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sterecht
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Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung! Das macht Sinn :-D
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wizzlah
02.03.2020 um 18:37
Wie kann ich denn jetzt noch den Rest zeigen. Ich seh ja, dass der Operator ja gerade das Newtonverfahren ist.
Ich habe im Skript die Definition gefunden :
Kontraktion bei einer Funktion gilt, wenn folgendes gilt :
\( \forall x_1, x_2 \in D\) : \( |f(x_2) - f(x_1)| \leq q |x_2 - x_1| \)
\( \Leftrightarrow | \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} | \leq q \)
Wenn ich das aber einsetze komme ich auf einen Ausdruck bei dem ich \( x_2 - x_1\) nicht wegkürzen kann und es somit nicht zeigen kann.
─ wizzlah 02.03.2020 um 19:39
Ich habe im Skript die Definition gefunden :
Kontraktion bei einer Funktion gilt, wenn folgendes gilt :
\( \forall x_1, x_2 \in D\) : \( |f(x_2) - f(x_1)| \leq q |x_2 - x_1| \)
\( \Leftrightarrow | \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} | \leq q \)
Wenn ich das aber einsetze komme ich auf einen Ausdruck bei dem ich \( x_2 - x_1\) nicht wegkürzen kann und es somit nicht zeigen kann.
─ wizzlah 02.03.2020 um 19:39
In diesem Fall ist es wohl einfacher zu zeigen, dass \(T'(x)\leq\frac34=:q<1\) für alle \(x\in[0;1]\). Ihr habt sicher gezeigt, dass das äquivalent ist zur Kontraktion (bei deiner Definition fehlt übrigens ganz entscheidend \(q<1\)), ansonsten ist es mit dem Mittelwertsatz auch nicht schwer, das einzusehen.
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sterecht
02.03.2020 um 21:48
Vielen Dank. Ich schau gleich nochmals nach, ob das im Skript steht. Hab's mir auf aber mal notiert. :-)
─
wizzlah
02.03.2020 um 21:56
Ich hab noch mal drüber geschaut und tatsächlich kann man das auch direkt ausrechnen:
Seien \(x,y\in[0,1]\), o.B.d.A. \(x\geq y\). Dann ist
\(T(x)-T(y)=\frac45x-\frac{4x-5}{5x^4+5}-\frac45y+\frac{4y-5}{5y^4+5}\leq\frac45(x-y)-\left(\frac{4x-5}{5y^4+5}-\frac{4y-5}{5y^4+5}\right)=\frac45(x-y)\left(1-\frac1{y^4+1}\right)\leq\frac45(x-y).\) ─ sterecht 03.03.2020 um 09:21
Seien \(x,y\in[0,1]\), o.B.d.A. \(x\geq y\). Dann ist
\(T(x)-T(y)=\frac45x-\frac{4x-5}{5x^4+5}-\frac45y+\frac{4y-5}{5y^4+5}\leq\frac45(x-y)-\left(\frac{4x-5}{5y^4+5}-\frac{4y-5}{5y^4+5}\right)=\frac45(x-y)\left(1-\frac1{y^4+1}\right)\leq\frac45(x-y).\) ─ sterecht 03.03.2020 um 09:21
Super vielen Dank!
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wizzlah
03.03.2020 um 09:54