Banachscher Fixpunktsatz

Aufrufe: 1065     Aktiv: 03.03.2020 um 09:54

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Guten Abend

Ich habe bei dieser Aufgabe gar keine Ahnung wie ich da am besten vorgehen soll. Die Funktion f(x) ist ja stetig und deswegen könnte ich Norm-Operationen darauf anwenden, wenn ich das richtig verstanden habe.

Aber wie kann ich nur schon jetzt bei der ersten Teilaufgabe zeigen, dass es nur eine Nullstelle im vorgegebenen Intervall gibt?

 

Vielen Dank für eure Rückmeldungen :-)

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Die Funktion hat eine Nullstelle in \([0,1]\), weil sie stetig ist und in diesem Intervall das Vorzeichen wechselt. Außerdem ist sie strikt isoton, da die Ableitung strikt positiv ist, sodass es nicht mehr als eine Nullstelle geben kann.

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Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung! Das macht Sinn :-D   ─   wizzlah 02.03.2020 um 18:37

Wie kann ich denn jetzt noch den Rest zeigen. Ich seh ja, dass der Operator ja gerade das Newtonverfahren ist.

Ich habe im Skript die Definition gefunden :

Kontraktion bei einer Funktion gilt, wenn folgendes gilt :

\( \forall x_1, x_2 \in D\) : \( |f(x_2) - f(x_1)| \leq q |x_2 - x_1| \)
\( \Leftrightarrow | \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} | \leq q \)

Wenn ich das aber einsetze komme ich auf einen Ausdruck bei dem ich \( x_2 - x_1\) nicht wegkürzen kann und es somit nicht zeigen kann.
  ─   wizzlah 02.03.2020 um 19:39

In diesem Fall ist es wohl einfacher zu zeigen, dass \(T'(x)\leq\frac34=:q<1\) für alle \(x\in[0;1]\). Ihr habt sicher gezeigt, dass das äquivalent ist zur Kontraktion (bei deiner Definition fehlt übrigens ganz entscheidend \(q<1\)), ansonsten ist es mit dem Mittelwertsatz auch nicht schwer, das einzusehen.   ─   sterecht 02.03.2020 um 21:48

Vielen Dank. Ich schau gleich nochmals nach, ob das im Skript steht. Hab's mir auf aber mal notiert. :-)   ─   wizzlah 02.03.2020 um 21:56

Ich hab noch mal drüber geschaut und tatsächlich kann man das auch direkt ausrechnen:
Seien \(x,y\in[0,1]\), o.B.d.A. \(x\geq y\). Dann ist
\(T(x)-T(y)=\frac45x-\frac{4x-5}{5x^4+5}-\frac45y+\frac{4y-5}{5y^4+5}\leq\frac45(x-y)-\left(\frac{4x-5}{5y^4+5}-\frac{4y-5}{5y^4+5}\right)=\frac45(x-y)\left(1-\frac1{y^4+1}\right)\leq\frac45(x-y).\)
  ─   sterecht 03.03.2020 um 09:21

Super vielen Dank!   ─   wizzlah 03.03.2020 um 09:54

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