Entwicklung des Wetters auf lange sicht (Stochastik/Lineare Algebra)

Erste Frage Aufrufe: 730     Aktiv: 14.06.2021 um 15:57
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Hey! Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und benötige hilfe! 

Thema: Stochastik/ Lineare Algebra

Auf ein Tag ohne Niederschläge folgt in 70% der Fälle wieder ein Tag ohne Niederschlag

Auf ein Tag mit Niederschlag folgt in 50% der Fälle wieder ein Tag mit Niederschlag 

1. vervollständige eine Übergangsgraphe  und Übergangsmatrix 

das habe ich getan
 hier mein Übergangsmatrix 

0.5   0.3      Tag mit Niederschlag 
0.5   0.7      Tag ohne Niederschlag 

2. Bestimme sie die Wahrscheinlichkeit, mit welcher es die Niederschläge übermorgen gibt wenn Heute (Tag 0) Niederschläge gab.
 Diese aufgabe habe ich mithilfe eines Baumdiagramms gelöst. 25% Beträgt die Wahrscheinlichkeit 

nun die dritte Aufgabe verstehe ich nicht "Ermitteln sie die Entwicklung des Wetters auf lange Sicht." Ich weiß leider nicht wie ich vorgehen soll.

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Es muss gelten Matrix mal Vektor (x1 x2) = Vektor (x1 x2),
Wenn du dieses LGS aufstellst und x2 durch 1-x1 ersetzt, bekommst du die langfristige Verteilung.
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Oh man irgendwie verstehe ich das nicht :(   ─   jayjay64 12.06.2021 um 23:44
Kannst du mir eventuell zeigen wie du es machst?   ─   jayjay64 13.06.2021 um 01:07
Selbst probieren und nachfragen heißt es hier🙂
Was verstehst du genau nicht?
Die obige Matrix mit dem Vektor (x1 x2) multiplizieren und mit (x1 x2 ) gleichsetzen kannst du?
x2 durch 1-x1 ersetzen und die erste Gleichung nach x1 auflösen, sollte doch machbar sein, oder?
   ─   monimust 13.06.2021 um 09:44
Zum Beispiel weiß ich nicht was mein Vektor ist, kenne nur meine Matrix und die habe ich auch da oben bennant, doch was sind meine Vektoren? :( habe echt kein überblick bei der Aufgaben alle aufgaben habe ich gemacht nur diese eine Aufgabe verstehe ich garnicht   ─   jayjay64 13.06.2021 um 11:06
Dein Vektor heißt (x1 x2), es ist der Vektor, den du suchst, wäre er bekannt, könntest du ja nichts berechnen. Daher must du auch ein LGS lösen.
Jetzt klarer?   ─   monimust 13.06.2021 um 13:06
Kann man das nicht einfach so machen 0.7 mal 30 + 0.5 mal 30 machen und das ist dann die Wahrscheinlichkeit für Tage ohne Niederschläge für 30 Tage (1 Monat) und bei Tage mit Niederschläge genauso dieselbe rechnung nur mit 0.3 und 0.5 kann man das nicht so machen?   ─   jayjay64 13.06.2021 um 14:18
Wenn du der Meinung bist (und auch herausfindest), dass du damit die Entwicklung auf lange Sicht berechnen kannst, dann mach das so. Eine Wahrscheinlichkeit kann dabei natürlich nicht rauskommen, die läge ja deutlich über 100%.   ─   monimust 13.06.2021 um 14:25
Hey ich habe jetzt folgendes gemacht undzwar
1. 0.7x1 + 0.5x2 = x1 | -x1
2. 0.3x1 + 0.5x2 = x2 | -x2

1. -0,3x1 + 0.5x2 = 0
2. 0.3x1 - 0.5x2 = 0

Und dies dann zsm addieren
0=0
Was muss ich jetzt als nächstes machen? ^^   ─   jayjay64 13.06.2021 um 14:35
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genauer lesen, du musst x2 durch 1- x1 ersetzen (Voraussetzung ist ja immer, dass beide zusammen 1 ergeben, wie in der Matrix auch),
Man kann auch stattdessen die Gleichung x1 + x2 = 1 als 3. Gleichung mitbenutzen   ─   monimust 13.06.2021 um 14:42
Ich habe jetzt folgendes gemacht doch weiß nicht ob es richtig ist aber am ende kam ich auf 1

1. -0.3x1 + 0.5x2 = 0
2. 0.3x1 - 0.5x2 = 0
Und das addieren 0=0
Dann habe ich

x2 = t

0.3x1-0.5t= 0 | +0.5t
0.3x1=0.5t

0.5 durch 0.3 = fünf drittel also 1.6

x1= Fünf drittel

(Vekor)S->= fünf drittel t
t
Fünf drittel t + 1t = 1

Acht drittel t = 1
Acht drittel t = 1 | : Acht drittel
Drei achtel

Fünft drittel * drei achtel = fünf achtel


Also ist der Vektor:
Fünf drittel = 0.625
Drei achtel = 0.375

Wenn ich beides zusammen rechne kommt 1 raus also 100%   ─   jayjay64 13.06.2021 um 20:41
Erst mal Glückwunsch, die Dezimalzahlen sind richtig, hast dich durchgewurstelt,
In Brüchen sind es 5/8 und 3/8
Wenn du die Matrix mit dem Vektor multiplizierst, kommt wieder der gleiche raus (stabile Verteilung) kannst mal Probe machen

Was du da allerdings gerechnet hast, erscheint mir im ersten Augenblick etwas chaotisch, wenn ich mal Muße habe versuche ich den Durchblick zu bekommen^^

Aber da du mit t gerechnet hast, folgender Vorschlag (hatte ich schon erwähnt)
Die beiden Zeilen aus dem Gleichungssystem und als zusätzliche Zeile x1 +x2= 1 als LGS rechnen
(könnte etwas weniger um 3 Ecken sein. Probier mal aus)   ─   monimust 13.06.2021 um 22:23
Oh man ich krieg das nicht hin :(
Ich versuche das die ganze zeit aber da kommen bei mir komische zahlen es klappt einfach nicht!Bitte :(   ─   jayjay64 13.06.2021 um 22:58
Nachdem ich mir deine Gleichungen genauer angeschaut habe, die sind falsch,
Bei der Multiplikation von Matrix mal Vektor : Zeile mal Spalte,
0,5x1 + 0,3 x2 = x1
0,5x2 + 0,7 x2 =x2
ZUSÄTZLICH x1 + x2 =1; x2= 1-x1, das setzt du jetzt oben ein

0,5x1 + 0,3(1-x1)=x1 vereinfacht -0,8 x1 + 0,3 =0
0,5 x1 + 0,7 (1-x1)=(1-x1) 0,8 x1 - 0,3 =0

Beide Zeilen liefern die gleiche Information für x1, du könntest auch erst vereinfachen und dann einsetzen
x2 aus x1+x2=1

Den Rest schaffst du jetzt alleine
Das Rechenchaos (nach t als Parameter wählen) schaue ich mir nicht an, ich vermute, du hattest die richtige Lösung und hast einfach irgendwas gerechnet.
Einen Parameter darfst du nur dann wählen, wenn es sich um eine echte Nullzeile handelt. Hier fällt nur die überflüssige 3.Zeile weg, da mit x1+x2 eine weitere Bedingung erfüllt sein muss.

Man kann das, statt mit dem Einsetzungsverfahren, auch mit Gauss lösen.

Dringender Rat: beschäftige dich erst noch intensiv mit Matrizen und Gleichungssystemen, bevor du an die Anwendungen gehst 🙃

   ─   monimust 14.06.2021 um 15:57

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