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Im Zähler hast du glaube ich schon das "richtige" Additionstheorem verwendet. Mein Tipp, schreibe den Nenner um $\sin(\alpha +\beta)=\sin \left( 2\cdot \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\right)$ und verwende dann das Additionstheorem für $\sin(2x)$. Dann solltest du kürzen können und auf das gewünschte Ergebnis kommen. Ob das nun ein vereinfachterer Term ist als der von wo aus du gestartet bis sei mal dahingestellt.