Beweis Grenzwertsatz Ungleichung

Aufrufe: 62     Aktiv: 21.03.2021 um 15:12

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Es geht um den Beweis dieses Grenzwertsatzes: 




Das ist der Beweis:




Ich versteh es bis kurz vor b + epsilon = .... = a - epsilon

Wieso macht man das? Ich verstehe, dass man mit der Konvergenz-Definition von a_n und b_n über einen Widerspruch ans Ziel kommen will. Aber wieso wählt man das epsilon als Mitte zwischen a und b, was sagt uns b + epsilon = a - epsilon und wieso folgt daraus, dass b_n < a_n?
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Zeichne die Situation auf der Zahlengeraden: Markiere a, b und die Intervalle (a-eps,a+eps) und (b-eps, b+eps), dort liegen die jeweligen Folgenwerte. Dann ist auch klar, warum man eps so wählt. Es würde aber auch eps=(a-b)/3 tun (warum, wird klar an der Zahlengeraden).
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Wenn \( b_n \in (b- \varepsilon, b+\varepsilon) \) ist, dann gilt ja insbesondere \( b_n < b + \varepsilon \).
Außerdem folgt aus \( a_n \in (a- \varepsilon, a+\varepsilon) \), dass \( a - \varepsilon < a_n \) ist.
Ist nun \( b + \varepsilon = a - \varepsilon \), dann folgt aus den obigen Ungleichungen natürlich \( b_n < a_n \).
(Und man wählt \( \varepsilon = \frac{a-b}{2} \), weil es damit funktioniert.)
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Ich weiß nicht wieso, aber das ist so prägnant geschrieben, dass ich es tatsächlich verstanden habe. Vielen Dank!   ─   akimboslice 21.03.2021 um 15:04

Freut mich, wenn ich dir weiterhelfen konnte :)   ─   anonym 21.03.2021 um 15:12

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