Newton-Cotes-Formeln

Aufrufe: 135     Aktiv: 01.02.2024 um 17:30

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meine Lösung /
 für n = 0 (Rechteckregel) haben wir nur einen Punkt und das Interpolationspolynom ist konstant. Wir integrieren also einfach die Funktion f(x) über [a,b] was einfach das produckt von f(x) mit der breite des intervalsls ist.

 für n = 1 (Trapezregel) haben wir zwei Punkte und das Interpolationspolynom ist eine lineare funktion. Wir integrieren also die lineare Funktion f(x) über [a,b] .

 für n = 2 (Sempsonregel) haben wir dreiPunkte und das Interpolationspolynom ist eine quadratpolynom. Wir integrieren also das quadratpolynom über [a,b] .


n = 0
 

n = 1


n = 2


ist es so richtig ! 
Danke 
�(�)
 
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1 Antwort
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Nein. Es geht um die offenen NC-Formeln, dabei sind also a,b keine Stützstellen. Sieht man ja auch an der Formel für $t_i$.
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.49K

 

Klar ,danke für die rückmeldung.
laut der Formel für die Gewichte.
da es sich um ein lineares Interpolationspolynom handelt, ist das Integral einfach die Fläche des Trapezes zwischen den Punkten x0 und x1
Das Intervall [x0,x1] wird mit h = b-a / n+ 2 unterteilt
das bedeutet
x0 = a + h und x1 = a + 2h
Die Gewichte berechnen sich also zu:
W0 = h/2 (f(x0) + f(x1))
das war Offene Newton-Cotes-Formel für n = 0


  ─   abdull 29.01.2024 um 13:13

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Nein. Beachte genau die Formeln: n=0 hat genau eine Stützstelle. Rechne die erstmal aus.   ─   mikn 29.01.2024 um 15:29

also die Stützstelle x0 ist gegeben durch x0 = a+h
die formel füt n=0
w0.f(a+h) , integrieren wir das Interpolationspolynom P0(x) über das Intervall {a.b}
am enden kriege ich

w0 = 1/b-a ∫ f(x)dx

  ─   abdull 29.01.2024 um 20:43

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Die Gewichte der gesuchten Formeln sind konkrete Zahlen. Das Vorgehen für abgeschlossene Formeln war ja in der Vorlesung. Schau Dir das nochmal an.   ─   mikn 29.01.2024 um 21:54

also ich hab versucht mehrmals dann kame ich :
für n = 0 haben wir nur eine Stützstelle x0 a und b sind keine Stützstellen. W0 = b-a
für n = 1 W0 = W1 = h/2
für n = 2 W0 = h/3 , W1 = 4h/3 , W2 = h/3
Das sind die Gewichtswerte für die offenen Newton-Cotes-Formeln für n = 0,1,2
  ─   abdull 31.01.2024 um 12:14

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Für n=0 stimmt das. Für die anderen nicht. Die Gewichte stehen zum Nachlesen auf https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Cotes-Formeln#Offene_Newton-Cotes-Formeln
(musst Du noch umrechnen von [0,1] auf [a,b], die Gewichte werden dabei mit b-a multipliziert).
  ─   mikn 31.01.2024 um 12:28

dann wäre so /
für n = 1 W0 = W1= 1/2 (b-a)
für n = 2 W0 = 1/3 (b-a) , W1 = 4/3 (b-a) , W2 = 1/3 (b-a)
  ─   abdull 31.01.2024 um 13:25

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Vergleiche mit der wikipedia-Seite.   ─   mikn 31.01.2024 um 13:27

Wenn wir diese Gewichte von [0,1] auf [a,b] umrechnen, müssen wir sie mit (b−a) multiplizieren. Also:
die richtigen Gewichte auf der Wikipedia-Seite
Für n = 1 W0 = W1 = 1/2 (b-a)
Für n = 2 W0 = W2 = 3/2 (b-a) und W1 = -1 (b-a)

  ─   abdull 01.02.2024 um 16:40

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Für n=1 ja (wie gesagt), für n=2 nein. Die Gewichte auf der wikipedia-Seite müssen mit b-a multipliziert werden. Danach vergleiche mit den von Dir berechneten.   ─   mikn 01.02.2024 um 16:51

wenn ich die mit b-a multipliziere kame ich W0 = W2 = 2/3 und W1 = 8/3   ─   abdull 01.02.2024 um 17:12

Zum 3.Mal: Lies auf der wikipedia-Seite nach.   ─   mikn 01.02.2024 um 17:30

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