Grenzwert von Folgen bestimmen

Aufrufe: 139     Aktiv: 29.06.2021 um 17:59

0
Ich komme bei dieser Aufgabe sowohl bei 1. Und 2. nicht weiter.
Diese Frage melden
gefragt

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 81

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Es ist $$a_n=\frac{\sqrt{x_0}n+\sqrt n}{n+1}=\frac{\sqrt{x_0}(n+1)+\sqrt n-\sqrt{x_0}}{n+1}=\sqrt{x_0}+\frac{\sqrt n-\sqrt{x_0}}{n+1}.$$ Weiter gilt $$|a_n-\sqrt{x_0}|=\left|\frac{\sqrt n-\sqrt{x_0}}{n+1}\right|=\frac{|\sqrt n-\sqrt{x_0}|}{|n+1|}\leq\frac{\sqrt n}{n}=\frac1{\sqrt n}\xrightarrow{n\to\infty}0,$$ also konvergiert $a_n$ gegen $\sqrt{x_0}$. Mittels der obigen Abschätzung $|a_n-\sqrt{x_0}|\leq\frac1{\sqrt n}$ kannst du auch $n_0$ ausrechnen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 11.14K

 

Mir ist der Rechenweg von an zu den beiden nächsten Gleichheitszeichen noch nicht klar.   ─   atideva 29.06.2021 um 17:57

Im ersten Schritt habe ich einfach nur die Klammer im Zähler ausmultipliziert, im zweiten Schritt habe ich $+\sqrt{x_0}-\sqrt{x_0}$ hinzugefügt und dann ausgeklammert. Die Gleichheit siehst du einfacher, wenn du rückwärts rechnest.   ─   stal 29.06.2021 um 17:59

Kommentar schreiben