Surjektivität beweisen

Aufrufe: 66     Aktiv: 05.10.2021 um 11:09

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Hallo zusammen,

Ich stehe vor folgenden zwei Aussagen:
(Dabei sei X eine Menge)

(i) X ist abzählbar
(ii) X = { } oder es gibt eine surjektive Abbildung g: IN --> X

Ich würde gerne aus (i) folgt (ii) zeigen. Der erste Fall, wenn X die leere Menge ist, ist klar, da diese abzählbar ist. Wie beweise ich, dass eine surjektive Funktion der genannten Form existiert, falls X nicht die leere Menge ist?

Vielen Dank für eure Hilfe!

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Nach Standarddefinition ist \(X\) abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion \(\pi: \mathbb{N} \to X\) gibt, somit folgt hier (ii) hier unmittelbar aus der Definition von abzählbar unendlich. Habt ihr eine andere Definition? Ansonsten wäre das echt billig.
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Vielen Dank! Nein, es steht wirklich nur so, wie ich es dargelegt habe.   ─   jonase.gluch 05.10.2021 um 09:06

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Okay, dann ist das eine sehr komische Aufgabe, die dich wahrscheinlich nur dazu anregen soll, die Definition von abzählbar unendlich nachzuschlagen...   ─   mathejean 05.10.2021 um 09:08

Naja, die vollständige Aufgabe lautet:

Sei X eine Menge. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) X ist abzählbar
(ii) X = { } oder es gibt eine surjektive Abbildung g: IN --> X
(iii) X ist endlich oder es gibt eine Bijektion f: IN —> X

Ich möchte dies durch eine Induktionskette (i) —> (ii) —> (iii) —> (i) machen.
  ─   jonase.gluch 05.10.2021 um 09:15

Wie habt ihr in eurem Skript den abzählbar definiert? (iii) ist nämlich eigentlich die Definition von (i).   ─   mathejean 05.10.2021 um 09:36

Wir arbeiten ohne Skript und die Abzählbarkeit wurde nie wirklich definiert (was auch eines meiner Probleme ist). Als Tipp steht bei der Aufgabe noch: Für (i) —> (iii) oder (ii) —> (iii) definieren Sie f: IN —> X rekursiv.

‚Rekursiv‘ ist wiederum ein Begriff, den ich nicht verstehe.
  ─   jonase.gluch 05.10.2021 um 10:29

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Weißt du denn was eine (rekursive) Folge ist? Eine Abbildung \(f:\mathbb{N}\to X\) ist nämlich eine Folge \((f_n)_{n\in \mathbb{N}} \in X\). Ohne eine Definition von abzählbar ist die Aufgabe jedoch nicht zu bearbeiten. Fakt ist, dass (iii) meist die Definition von (i) ist, weshalb sich die Implikationskette (i)-(iii)-(ii)-(i) anbieten würde. Für die Implikation von (i) nach (iii) genügt dann ein a fortiori   ─   mathejean 05.10.2021 um 10:55

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Wenn du das alles rekursiv zeigen willst betrachte ein beliebiges \(x_1 \in X\) und definiere \(f_1:=x_1\). Wähle nun \(X'=X\setminus \{x_1\} \) und \(x_2 \in X'\) und definiere \(f_2:=x_2\). Allgemein wähle also \(X^{(i+1)}=X^{(i)}\setminus \{x_i\}\) und \(x_{i+1}\in X^{(i+1)}\) beliebig und definiere \(f_{i+1}:=x_{i+1}\).   ─   mathejean 05.10.2021 um 11:03

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