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Ja L'Hospital anwenden ist richtig.
Man leitet dabei Zähler und Nenner getrennt ab. Es gilt also:
\(\underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}=a \quad \Longrightarrow \quad \underset{x\longrightarrow x_0}{\lim} \dfrac{f(x)}{g(x)}=a\).
Es kann auch vorkommen, dass die Regel von L'Hospital mehrmals hintereinander angewendet werden muss. Falls du also nach dem ersten Anwenden immer noch auf einen Ausdruck \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\) kommst, dann einfach nochmal L'Hospital anwenden.
Hoffe das hilft weiter.
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maqu
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@cauchy guter Einwand :D
@ufukd ich wende 4 mal L'Hospital an! .... Nach dem ersten mal L'Hospital erhalten ich \(\dfrac{4\sin^3(x)\cos(x)}{-2\cos(x)\sin(x)+2\sin(x)}\)
Hier wende ich im Nenner das Additionstheorem \(\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\) an und erhalte damit:
\(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{4\sin^3(x)\cos(x)}{-\sin(2x)+2\sin(x)}\)
Nach nun drei weiteren Anwendungen von L'Hospital erhalte ich:
\(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{24\cos^4(x)+\ldots}{8\cos(2x)-2\cos(x)}=\dfrac{24}{6}=4\)
Die restlichen Term im Zähler interessiert mich nicht, weil in jedem mindestens ein Sinus vorkommt.
Rechne es nochmal nach, dann kommst du sicher auch drauf. ;) ─ maqu 28.01.2021 um 21:44
@ufukd ich wende 4 mal L'Hospital an! .... Nach dem ersten mal L'Hospital erhalten ich \(\dfrac{4\sin^3(x)\cos(x)}{-2\cos(x)\sin(x)+2\sin(x)}\)
Hier wende ich im Nenner das Additionstheorem \(\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\) an und erhalte damit:
\(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{4\sin^3(x)\cos(x)}{-\sin(2x)+2\sin(x)}\)
Nach nun drei weiteren Anwendungen von L'Hospital erhalte ich:
\(\underset{x\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{24\cos^4(x)+\ldots}{8\cos(2x)-2\cos(x)}=\dfrac{24}{6}=4\)
Die restlichen Term im Zähler interessiert mich nicht, weil in jedem mindestens ein Sinus vorkommt.
Rechne es nochmal nach, dann kommst du sicher auch drauf. ;) ─ maqu 28.01.2021 um 21:44
Wenn man \( \frac{\sin^4(x)}{\cos^2(x)-2\cos(x)+1} = \left( \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)-1} \right)^2 \) schreibt, dann kann man den Limes ins Quadrat reinziehen und ist dann schon nach einmaligem Anwenden der Regel von L`Hospital fertig. Dann hat man einfach \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin^4(x)}{\cos^2(x)-2\cos(x)+1} \) \( = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)-1} \right)^2 \) \( = \left( \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(x) \sin(x)}{-\sin(x)} \right)^2 \) \( = \left( \lim_{x \to 0} -2 \cos(x) \right)^2 \) \( = (-2)^2 = 4 \).
─
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29.01.2021 um 09:40
Da für die Aufgabe nur das Ergebnis und kein Lösingsweg vorhanden ist ─ darmaduman 28.01.2021 um 20:43