Fehler finden in vollständiger Induktion

Aufrufe: 211     Aktiv: 12.11.2023 um 04:41

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Es geht um folgende Textaufgabe:

Das Problem ist, dass ich es schon paar mal schrittweise gelesen habe, aber immernoch nicht so wirklich sagen kann, wo der Fehler liegen könnte. Meine erste Vermutung tritt ab dem 2. Benutzen der Induktionsvoraussetzung auf: Können wir die Annahme, dass wir bereits wissen, dass der andere Hund, den wir als 2. entfernen, die gleiche Farbe wie die meisten anderen hat, wirklich vor dem Entfernen annehmen? Sobald wir den fehlfarbigen Hund wieder dazutun, dann können wir doch nicht wieder sagen, ob die anderen Hunde vom Ganzen als Größe von $n+1$ wieder die gleiche Farbe haben oder? Oder übersehe ich etwas anderes Offensichtliches?

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Die unpräzise "Definition" eines Rudels ist hier im Grunde das Problem. Hier wird gesagt: "Sei $n$ die Größe des Rudels". Das ist eine sinnfreie Aussage, wenn $n=0,1$ nicht explizit ausgeschlossen werden. Das führt dazu dass ein (eigentlich nicht zulässiger) Induktionsanfang $n=1$ eine völlig triviale Aussage liefert und man diese dann als Induktionsvoraussetzung benutzt. Damit lässt sich alles mögliche Beweisen.

  ─   zestysupreme 11.11.2023 um 23:17

Das ist so nicht ganz richtig. Die "Definition" des Rudels ist hier nicht das Problem. Auch ist die Aussage nicht sinnfrei. Der Begriff Rudel impliziert ja nicht zwangsläufig, das sich mindestens zwei Tiere darin befinden müssen.

Der Induktionsanfang liefert in fast allen Induktionsbeweisen eine triviale Aussage. Das ist also nichts Neues oder Ungewöhnliches.

Man muss hier schon begründen, warum der Schritt gerade für $n=1$ nicht klappt.
  ─   cauchy 12.11.2023 um 04:41
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Der Fehler ist in der Tat nicht offensichtlich. Das mehrfache Anwenden der Voraussetzung ist es jedoch nicht. Problem ist der Induktionsschritt. Der funktioniert nämlich nicht für jedes beliebige $n$. Für welches $n$ könnte er schief gehen und warum?
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Also ich bin es jetzt gedanklich für $n=1, 2, 3$ durchgegangen und mir ist bei denen zumindest kein Widerspruch aufgefallen. Ich bin immernoch dazu fähig 1 Hund abzuziehen und dann die Induktionsvoraussetzung anzuwenden. Gibt es hier eine Strategie dieses $n$ zu finden?   ─   unclever2001 11.11.2023 um 22:42

Viele Möglichkeiten gibt es ja nicht. Warum sollte es ausgerechnet $n=42$ oder $n=23$ sein? Das ergibt keinen Sinn. Es ist aber in der Tat $n=1$.   ─   cauchy 11.11.2023 um 22:46

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