DGL 2. Ordnung Partikulärer Ansatz

Aufrufe: 53     Aktiv: 09.03.2021 um 05:38

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Hallo,

ich stecke bei der Bildung der partikulären Lösung fest. Ich weiß, dass ich die Art der Störfunktion erkennen muss und dementsprechend den korrekten Ansatz wählen muss. Bei der Bestimmung von yp1 und yp2 verstehe ich nicht wie, die Ansätze zustande kommen.
https://i.gyazo.com/1b9af323dfca0e2ad326edefd9aee538.png
Müsste aus sin(x) nichte yp1 = Ax sin(x) + Bx(cos(x) werden und bei yp2 = D*sin(3x) + E*cos(3x).
https://i.gyazo.com/8029c7ed9d02c2e7ae3aeca759bd22d9.png
Ich orientiere mich hierbei an diesem Merkblatt für Störfunktionen. Demnach hätte ich die Ansätze aus Spalte 3 für sin und cos verwendet.
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1 Antwort
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der Ansatz \(y_{p1}= A*\sin x +B*\cos x \) für \(g_1=\sin x\) ist genau richtig .
\(g_1\) ist hier eine Störfunktion der Art \(b(x) = \sin\beta x  *(b_0) \text { mit }  \beta=1\).
\( i*\beta =i \) ist keine Nullstelle des char.Polynoms; daher der Ansatz \(y_{p1}= \cos x *(A_0) + \sin x *(B_0)\)

Anders bei \(g_2 = 2 \cos 3x\); weil 3i  1-fache Nullstelle des char.Polynoms ist gilt der Ansatz
\(y_{p2}= x^1*\cos 3x (A_0) + x^1*\sin 3x  *(B_0)\) . Man sagt:es liegt äußere Resonanz vor.

Mit den jeweiligen Ansätzen kannst du sowohl für \(y_{p1}\) als auch für \(y_{p2}\) jeweils \(A_0 \text { und } B_0\) bestimmen.

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Danke für die schnelle Rückmeldung, ich tue mich aber darin schwer zu verstehen, wie ich die Nullstelle erkenne. Muss ich hierbei den Koeffizienten β des sin bzw. cos mit dem ergebnis für das lambda vergleichen? Also bei sin(x) wäre β = 1 während i = 3 ist also keine Nullstelle und bei cos(3x) ist β = 3 = i. Erkenne ich das daran, denn i*β = i setzt ja immer voraus das β = 1 ist, ansonsten kann i+β = i nicht herauskommen. Und eine weitere Frage die sich mir gestellt hat, ist egal ob sinus oder cosinus, sollte es keine Nullstelle geben, dann ist der Ansatz bei der Bildung der Störfunktion gleich, ist das richtig? Ich habe mir diese Frage gestellt, da in der Tabelle nur der cos angegeben ist ohne Nullstelle und nicht der Sinus.   ─   awais 09.03.2021 um 05:05

in der Störfunktion steht sinx = sin1x , dann musst du überprüfen , ob 1i Nullstelle des char.Polynoms ist.wenn ja, liegt Resonanz vor, und der Ansatz wird um je nach Häufigkeit der Nullstelle mit x^n erweitert. Wenn keine Resonanz vorliegt, dann Ansatz mit Kosnstantena*sinx + b*cos x.
bei cos3x musst du prüfen , ob 3i Nullstelle des Char.Polynoms ist. So ist es bei dir. ==> Resonanz: Vielfachheit der Nullstelle =1 also Ansatz \(y_p= ax*sin3x +bx*cos3x\)
  ─   scotchwhisky 09.03.2021 um 05:25

Vielen Dank, ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Wenn dort sin(3x) stände, dann würde es dort auch eine Nullstelle geben, und wenn andersherum, dort cos(x) steht, dann gäbe es keine da nach cos(1i) geprüft werden würde.   ─   awais 09.03.2021 um 05:38

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