Partner ziehen sich gegenseitig beim Wichteln

Aufrufe: 57     Aktiv: 03.01.2022 um 16:13

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Liebes Forum,
es geht um die folgende Frage:

In einer Klasse befinden sich 33 Schüler*innen. Jeder Name kommt in einen Beutel. Anschließend zieht jeder Schüler einen Namen aus dem Beutel und bestimmt so, wem er eine kleine Freude machen darf.

(i) Wie wahrscheinlich ist es, dass genau 2 Schüler*innen sich gegenseitig ziehen
(ii) Mindestens 1 Pärchen sich gegenseitig zieht.


Zu (i) habe ich ausgerechnet 1/32. Stimmt das?
Ich komme so darauf:
Ich stelle mir für das Modell vor, dass die Lehrkraft in der ersten Stufe einen Namen aus den 33 zieht. Die gezogene Person zieht anschließend einen Namen aus den verbleibenden 32 Namen. Die nun gezogene Person zieht nun wiederum einen Namen aus den 32 Namen (der eigene Name ist raus; der Name, der von der Lehrlraft ausgewählten Person ist logischerweise wieder dabei, er kann ja jetzt gezogen werden).

Damit komme ich zu: P(E)=(1/33*1/32*1/32) * 32*33 = 1/32
 
Zu (ii) habe ich die Idee, das Ereignis über die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen P(E)=1-P(Kein Pärchen zieht sich gegenseitig). Da komme ich aber irgendwie auch auf 1/32 was ja Unsinn ist.

Meine Rechnung: P(E)=1-P(Kein Pärchen gegenseitig)=1-(1/33*1/32*31/32)=1/32

Danke für eure Hilfe.
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Hallo,

Kombinatorik ist nicht mein Steckenpferd, aber hier mal meine Gedanken dazu.

für den Sachverhalt macht es keinen Unterschied, welcher Schüler anfängt. Deshalb würde ich den Gedanken "der Lehrer zieht" wegnehmen.
Also der erste zieht aus einem Beutel. Wenn er sich selbst zieht, muss er halt nochmal. Nun ist es aber völlig egal, wenn diese Person zieht, solange sie es nicht selbst ist. Also $\frac {32} {33}$. Nun zieht die nächste. Sagen wir mal diese Person ist es bereits, die den Namen der ersten Person zieht. Dann ist das eine Wahrscheinlichkeit von $\frac 1 {32}$ (nicht mehr 33, denn die Namen werden natürlich nicht zurück gelegt. Ansonsten bekommt hinterher eine Person von mehreren Geschenke und manche bekommen gar keine).
Die Nächste Person darf nun wieder frei wählen. Es sind noch 31 Namen in dem Beutel. Also ist die Wahrscheinlichkeit $\frac {30} {31}$ (schließlich macht es wieder keinen Sinn, wenn der eigene Name gezogen wird). 
Sagen wir mal nun zieht die Person die gerade gezogen wurde (damit machen wir es uns einfacher). Diese darf sich nicht selbst ziehen, aber auch nicht die Person die sie gerade gezogen hat. Also $\frac {28} {30}$. 
Nun darf eine Person wieder frei wählen $\frac {28} {29}$ und die nächste muss wieder aufpassen $\frac {26} {28}$. So kann man das nun fortführen. Geht vielleicht auch einfacher, aber bin wie gesagt mir bei Kombinatorik leider oft etwas unsicher deshalb brsöle ich das mal komplett auf. :)

Am Ende ist es noch wichtig darauf einzugehen, dass die Reihenfolge variieren kann. 

 Der Ansatz für ii) ist sehr gut. Ich würde es im Zweifel genauso "vorsichtig" angehen wie ich es bei der anderen Aufgabe gemacht habe. Lass jemanden ziehen. Dann lass den ziehen der gezogen wurde usw. 

Grüße Christian 

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