Lösungsmenge einer Ungleichung mit Beträgen

Erste Frage Aufrufe: 131     Aktiv: 30.10.2022 um 19:16

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Hallo,
ich habe Probleme, den Lösungsweg zu folgender Aufgabe klar anzuschreiben:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung über den reellen Zahlen:
|x+1|÷|x-1|>4.

Mit dem Taschenrechner bekomme ich x=/=1 und 3÷5<x<5÷3 heraus.

Wenn ich die Aufgabe mit der Hand löse, komme ich nicht auf das gleiche Ergebnis:

Zuerst definiere ich die beiden Beträge:

|x+1|={x+1 für x>=-1 und -x-1 für x<-1

|x-1|={x-1 für x>=1 und -x+1 für x<1

Dann unterscheide ich drei Fälle:

Fall 1) x<-1: (-x-1)÷(-x+1)>4 ergibt durch Umformen x>5÷3 (was aber nicht in der Definitionsmenge x<-1 liegt)

Fall 2) -1<=x<1: (x+1)÷(-x+1)>4 ergibt durch Umformen x>1 (was wieder nicht in der Definitionsmenge liegt)

Fall 3) x>=1: (x+1)÷(x-1)>4 ergibt durch Umformen x<5÷3 (das liegt in der Definitionsmenge x>=1, außerdem darf x nicht 1 sein, weil man sonst durch 0 dividieren würde)

Im Endeffekt kann ich für die Lösungsmenge also nur Fall 3) verwenden und habe x=/=1 und x<5÷3 statt x=/=1 und 3÷5<x<5÷3.

Ich wäre dankbar für jede Arten von Hilfestellungen :) LG
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Student, Punkte: 21

 
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2 Antworten
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Mit dem Multiplizieren von neg. Zahlen hat es nichts zu tun. Wenn die Beträge aufgelöst sind, sind die Terme ja per Def. positiv.
Ich komme in Fall 2 auf $x>\frac35$, vermutlich hast Du also nur einen Rechenfehler drin. Prüf nochmal, 4-1=3 sollte da stehen. Und damit kommt man auf die richtige Lösungsmenge.
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Beachte in Fall 2, dass sich bei Division/Multiplikation mit negativen Zahlen das Ungleichzeichen umdreht.
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Selbstständig, Punkte: 26.64K

 

Danke, im Fall, dass (-x+1) negativ ist, komme ich auf (x+1)÷(-x+1)>4 <=> (x+1)<-4x+4 <=> 5x<3 <=> x<3÷5.
Ich verstehe nur noch immer nicht, warum (-x+1) in meinem Fall 2) negativ sein kann, weil ich als Definitionsmenge -1<=x<1 hab und (-x+1) könnte ja eigentlich nur dann negativ sein, wenn x>=1. Oder muss ich trotz der drei angegebenen Definitionsmengen auch alle drei Male den Fall für (-x+1)>0 mitbehandeln?
  ─   an. ni. 29.10.2022 um 09:33

Bei der ersten Äquivalenz drehst du nun das Zeichen um. Da meinte ich das aber auch nicht. Ich hatte so gerechnet, dass ich am Ende $-5x<-3$ hatte, weshalb die Vermutung war, dass du es dann vergessen hast. Es ist immer schwierig, Lösungen zu beurteilen, weil der Rechenweg fehlt.   ─   cauchy 29.10.2022 um 19:29

Tut mir leid, dass ich zuerst nicht meinen vollständigen Lösungsweg angegeben habe. Das hätte jetzt im Nachhinein auf jeden Fall Sinn gemacht. Inzwischen hab ich die richtige Lösung herausbekommen, ohne irgendwo ein Ungleichungszeichen umzudrehen. :)
Danke für die Hilfe!
  ─   an. ni. 30.10.2022 um 19:16

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