Sehr Wichtig: krümmungsverhalten

Aufrufe: 498     Aktiv: 21.01.2021 um 09:06
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Kann mir bitte jemand sagen, wie die Krümmung für die Funktion f´´(x)=2x*e^(-2x) aussieht?

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Zuerst bestimmst du den Wendepunkt. Dazu musst du deine zweite Ableitung gleich Null setzen. Nun hast du dort ein Produkt, welches genau dann Null wird, wenn eins der beiden Faltoren Null wird. Die \(e\)-Funktion wird nicht Null. Also wo muss dein Wendepunkt liegen.

Nun bildest du die dritte Ableitung und setzt deinen Wendepunkt ein. Ist \(f'''(x)<0\) hast du eine Links-rechts Krümmung und ist \(f'''(x)>0\) hast du eine Rechts-linkskrümmung

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Also mein Wendepunkt ist (0/0,5) heißt, das ich muss null überall als mein x einsetzten also: f´´´(0)=e^(-2*0) * (2-4*0)   ─   anonymc6628 20.01.2021 um 22:23
@cauchy ja danke für Korrektur im Punkt selbst nicht Hat man keine krümmung ... wird korrigiert   ─   maqu 20.01.2021 um 22:26
@anonym was kommt denn dann heraus für deine dritte Ableitung ... e hoch Null wird zu 1   ─   maqu 20.01.2021 um 22:27
@maqu Also 2>0. Aber ist eine Rechtskrümmung nicht f´´(x)=<0 ?   ─   anonymc6628 20.01.2021 um 22:30
@maqu Wieso kann ich das nicht mit der zweiten Ableitung machen?:)   ─   anonymc6628 20.01.2021 um 22:31
Eine rechts-linkskrümmung ja genau   ─   maqu 20.01.2021 um 22:32
Ich habe das jetzt nicht ganz verstanden, muss ich die zweite Ableitung >0 setzen oder die dritte?   ─   anonymc6628 20.01.2021 um 22:36
Mit der zweiten bestimmst du den Wendepunkt und mit der dritten das krümmungsverhalten im Wendepunkt ... ob links oder rechtskrümmung auf einem Intervall machst du es wie @andima es gerade beschrieben hat   ─   maqu 20.01.2021 um 22:43

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Hallo :-) Alternative Herangehensweise:

Linkskrümmung liegt bei einer Funktion f(x) vor, wenn f''(x)>0 ist. Rechtskrümmung liegt vor, wenn f''(x)<0 ist.

Wenn \(f''(x)=2x \cdot e^{-2x}\) ist, braucht man "lediglich" einen Blick auf die zwei Faktoren zu werfen. Die e-Potenz ist immer positiv. Der Faktor 2x ist negativ für x<0 und postiv für x>0.

Daraus ergibt sich: für x<0 ist f''(x)<0 und es liegt Rechtskrümmung vor. Und für x>0 ist f''(x)>0 und es liegt Linkskrümmung vor. 

Nachvollziehbar? :-)

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Wieso ist der Faktor 2x negativ für x<0?   ─   anonymc6628 21.01.2021 um 05:43
Wieso ist e immer positiv?
   ─   anonymc6628 21.01.2021 um 08:26
Na ja, wenn man in 2x eine negative Zahl (egal welche) einsetzt, dann kommt auch etwas negatives heraus. Und umgekehrt kommt immer etwas positives heraus, wenn man da eine positive Zahl einsetzt.
Und eine Potenz mit positiver Basis (e=2,71...) ist immer positiv, egal was der Exponent ist. Geht der Exponent gegen +Unendlich, dann geht die Potenz gegen +Unendlich. Geht der Exponent gegen -Unendlich, dann geht die Potenz gegen 0, ist dabei aber immer positiv, also z. b. 0,000000000001 :-)
Und in der Kombination ergeben sich zwei mögliche "Rechnungen": minus mal plus gleich minus, für x<0; und plus mal plus gleich plus, für x>0.   ─   andima 21.01.2021 um 09:02
@anonym weil du ja immer e hoch irgendeinen Wert rechnest ... schau dir dazu einfach nochmal den Graph der exponentialfunktion an, für x=0 erhältst du 1 als funktionswert, für \(x\in (0,\infty)\) ist \(e^x\) größer als 1 und für \(x\in (-\infty,0)\)ist \(e^x\) kleiner als 1 aber bleibt. größer .... in deinem Beispiel ist es umgekehrt da \(e^{-2x}\) durch den negativen exponenten die Beziehung umgedreht wird ... trotzdem bleibt der e-Term damit immer positiv .... zu dem Term \(2x\) betrachtest du auch immer die Werte die angenommen werden wenn x in einem bestimmten Intervall liegt, für \(x\in (0,\infty)\) ist \(2x>0\) und für \(x\in(-\infty,0)\) ist \(2x<0\)   ─   maqu 21.01.2021 um 09:06

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So sieht deine Funktion aus.

https://www.geogebra.org/calculator

Unter dem Link oben, kannst du dir jede Funktion grafisch darstellen lassen.

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