Wie beweise ich diese Aussage über Stetigkeit.

Aufrufe: 111     Aktiv: 06.04.2021 um 17:50

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Hallo zusammen

Ich müsste folgende Aufgabe über Stetigkeit von Funktionen beweisen:

Sei \(X\in \mathbb{R}^d\) abgeschlossen und \(f:X\rightarrow \mathbb{R}^m\). Wir nehmen an dass \(X=A\cup B\) mit \(A,B\) abgeschlossenen Teilmengen von \(\mathbb{R}^d\). Zeigen Sie dass f stetig ist genau dann wenn \(f|_A:A\rightarrow \mathbb{R}^d\) und \(f|_B:B\rightarrow \mathbb{R}^d\) stetig sind.

Ich habe sie schon einmal anderst gelöst jedoch wollte ich mich noch ein wenig im Folgenkriterium für Stetigkeit üben und habe es daher wie folgt versucht, jedoch bin ich ein wenig unsicher ob das so machbar ist auch wenn es sehr umständlich und lange ist.
Vielen Dank für eure Antwort.

Weiterhin schönen Ostermontag.

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Zunächst mal kann man sich für beide Richtungen die jeweils zweiten Fälle sparen wg der Symmetrie der Aufgabe in A und B. Man sagt dann "o.B.d.A. x in A", das kennst Du bestimmt mittlerweile.
Die Richtung \("\Longrightarrow"\) würde ich so durchgehen lassen. Sauber wäre es zu sagen man zeigt nur "f|_A stetig". Dann: sei \(a\in A, a_k \in A\) mit \(a_k\to a\): Dann gilt \(f|_A(a_k)=.....=f_A(a)\), fülle die Zwischenschritte sauber selbst aus und mach klar, wo die Annahme eingeht.
Die andere Richtung, also \("\Longleftarrow"\) geht so nicht. Hier muss man mit "Sei \(x\in X, x_k\in X\) mit \(x_k\to x\) anfangen und zeigen \(f(x_k)\to f(x)\). Übe diese Beweismuster mal ein, insb. die Verwendung von "sei...:" da, wo etwas wie "für alle..." zu zeigen ist. Quantoren kommen dann im Beweis gar nicht vor.
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Lehrer/Professor, Punkte: 12.06K
 

Ah okei ja also eigentlich haben wir o.B.d.A noch nie verwendet aber ja als ich sie gelöst habe dachte ich mir auch dass beide Fälle ja eigentlich "identisch" sind.
Okei aber darf ich die Rückrichtung so machen:
Sei \(x\in X, x^{(k)} \in X\) mit \(x^{(k)}\rightarrow x\). Da \(A,B\) abgeschossen sind, liegen die Grenzwerte \(a,b\) von beliebigen Folgen \(a^{(n)}\in A, b^{(n)}\in B\) wiederum in \(A,B\) daher können wir o.B.d.A annehmen dass \(x,x^{(k)}\in A\). Dann gilt \(f(x^{(k)})\stackrel{x^{(k)}\in A}{=}f|_A(x^{(k)})\stackrel{f|_A \,\,stetig}{\rightarrow}f|_A(x)\stackrel{x\in A}{=}f(x)\).


Kurz zur Erläuterung, mit dem Satz: "Da A,B, abgeschlossen sind..." wollte ich eigentlich nur darauf hinweisen, dass wir keine Folge in B finden können die gegen einen Grenzwert in A konvergiert ausser falls der Grenzwert im Durchschnitt von A und B liegt aber dann liegt dieser ja sowiso in B und in diesem Fall hat sich die Sache erledigt. ich hoffe das versteht man
  ─   karate 05.04.2021 um 23:03

Ich würde das nicht akzeptieren. Es geht ja nicht darum, was man finden (oder nicht) könnte, sondern wir haben eine Folge in X, mit der müssen wir arbeiten. Ich würde da Fälle unterscheiden: 1. Fall: für schließlich alle k (kennst Du den Begriff?) liegt x_k in A, 2. Fall: dasselbe mit B, entfällt oBdA, 3. Fall: weder liegt x_k für schl. alle k in A noch für schl. alle k in B.
Der 1. Fall geht so wie Du oben vorgegangen bist. Interessant ist hier (und das ist einzig interessante an der Aufgabe bzw. dem Beweis) der 3. Fall. Was fällt Dir da ein?
  ─   mikn 05.04.2021 um 23:19

nein leider ist mir dieser Begriff unbekannt was bedeutet er?   ─   karate 05.04.2021 um 23:26

Wenn etwas für "schließlich alle k" gilt, meint man "ab einem k_0 für alle k größer k_0", Spricht sich leichter. Wird aber nicht sooo häufig verwendet.   ─   mikn 05.04.2021 um 23:29

Ah okei vielen Dank!
Also das heisst die Grundidee ist dass wir uns eine Folge in X nehmen und diese kann für schliesslich alle k in A, B oder weder A noch B sein.
Nun zum 3. Fall. Wenn sie dann aber weder für schliesslich alle k in A noch in B ist würde dies ja zum Beispiel bedeutet dass sie immer hin und her "springt" oder? Das würde ja dann aber heissen dass die Folge gar nicht konvergiert, da wir ja wissen, dass jede Folge die für schliesslich alle k in A oder B liegt auch ihren Grenzwert in A oder B hat nicht?
  ─   karate 05.04.2021 um 23:40

Ja, sie springt, aber konvergiert nach Annahme. Da nun logisch weiterschließen.   ─   mikn 05.04.2021 um 23:55

Hmm also ich hätte da eben gesagt, dass ja der Grenzwert entweder in A oder B sein muss, aber dann würde es doch ein k_0 geben so dass unsere Folge für alle k >=k_0 in A oder B liegt oder wo mache ich hier den Denkfehler? Oder könnte ich dann sagen dass es zwei Teilfolgen gibt, die eine hat einfach alle "Sprünge" in A und die andere in B, dann würden diese Teilfolgen ja auch konvergieren und man wäre eigentlich wieder bei Fall 1,2   ─   karate 06.04.2021 um 00:02

Es gibt kein "entweder oder". A und B müssen nicht disjunkt sein. Stichwort Teilfolge ist gut, aber trotzdem fällt es nicht in Fall 1 und 2 zurück (was auch nicht geht, da die Fälle sich ja auschließen). Du hast eine unpassende intuitive Vorstellung wie die Mengen liegen. Mach Dir eine Skizze, wie die Folge im 3. Fall liegt.
  ─   mikn 06.04.2021 um 11:44

Okei also laut meiner Skizze würde es ja bedeuten, dass der Grenzwert dieser Folge im Durchschnitt von A und B sein müsste, denn da die Folge ja immer "springt", wäre ja sonst die Folge für schliesslich alle k in A respektive B. Irgendwie habe ich aber noch irgend ein Problem, denn auch da muss doch die Folge irgendwann in den durchschnitt eintauchen und dann wäre sie ja für schliesslich alle k in A resp. B oder nicht?
Nichtsdestotrotz hätte man ja zwei Teilfolgen \(x_A^{(k)}\) wobei eine für schliesslich alle k in A liegt und die andere \(x_B^{(k')}\)für schliesslich alle k' in B, gleichzeitig gilt ja dass \(x_A^{(k)}\rightarrow x\) und \(x_B^{(k')}\rightarrow x\). Da ja nun aber \(f|_A, f|_B\) stetig sind würde das ja heissen dass \(f|_A(x_A^{(k)})\rightarrow f|_A(x)\) und \(f|_B(x_B^{(k')})\rightarrow f|_B(x)\).
Könnte man dann nicht wieder sagen dass der erste Fall hier wie Fall 1 behandelt wird (von oben) und der zweite Fall hier wie Fall 2 (von oben)?
  ─   karate 06.04.2021 um 13:44

Zur ersten Frage: Nein. Skizze: X=Rechteck, in der Mitte geteilt in zwei Rechtecke, links A, rechts B, mit Rand jeweils. x (Grenzwert) liegt auf der Mittellinie. Du hast eine unpassende Skizze.
Idee mit den Teilfolgen geht in die richtige Richtung. Wir brauchen aber, dass die (ganze) Folge f(x_k) konvergiert und zwar gegen f(x). Da fehlt also noch was.
Zur letzten Frage: Nein, das ist hier im 3. Fall anders.
  ─   mikn 06.04.2021 um 14:00

Ah ja da habe ich eine unpassende Skizze. also nochmals wir wählen unsere Teilfolgen so dass \(x_A^{(k)}\subset A\) alle punkte von \(x^{(k)}\) beinhaltet die in A liegen und \(x_B^{(k)}\subset B\) beinhaltet alle die in B liegen. Wir wissen dass gilt \(x_A^{(k)}\rightarrow x,\,\,\, x_B^{(k)}\rightarrow x\). Es gilt nun also dass \(x^{(k)}=x_A^{(k)} \cup x_B^{(k)}\). Daraus folgt:
\(f(x^{(k)})=f(x_A^{(k)} \cup x_B^{(k)})=f(x_A^{(k)})\cup f(x_B^{(k)})=f|_A(x_A^{(k)})\cup f|_B(x_B^{(k)})\rightarrow f|_A(x)\cup f|_B(x)\stackrel{x\in A\cap B}{=}f(x)\).

ist das immer noch sehr falsch?
  ─   karate 06.04.2021 um 14:14

Nicht sehr falsch, aber \(\cup\) hat da nichts zu suchen. IMMER überlegen, von welchen Objekten wird geredet. Bei \(\cup\) müssen es Mengen sein, sind es das hier? Aber einen wichtigen Punkt hast Du nun eingebaut: dass nämlich die Folge x_k vollständig(!) in diesen beiden TFn aufgeteilt ist. Was wiederum eine vollständige Aufteilung von f(x_k) zur Folge ;-) hat.... Es ist hier so ähnlich wie bei der Situation "links- und rechtsseitig stetig \(\iff\) stetig".   ─   mikn 06.04.2021 um 14:31

Ja ich habe mir eben gedacht dass ich die Folge \(x_A^{(k)}=\{x_A^{(1)},x_A^{(2)},...\}\) sehe und daher habe ich \(\cup\) eingebaut aber ja ich sehe das Problem. Nun frage ich mich aber wie ich das Mathematisch notieren kann, also die Aufteilung von \(x^{(k)}\) in die Teilfolgen, denn ich kann die Teilfolgen ja auch nicht addieren, würde auch keinen Sinn ergeben. Gibt es da eine schlaue Notation, denn so wie ich das verstanden habe liegt der Haken nur noch dort, also der Rest verläuft dann eigentlich gleich wie oben einfach mit anderen Zeichen oder habe ich das falsch verstanden?   ─   karate 06.04.2021 um 14:40

Ich würde es auch mit Worten erklärt akzeptieren, wenn klar ist, dass die Folge vollständig aufgeteilt ist. Es muss ja sicher sein, dass es keine dritte Teilfolge gibt, die ein unklares Verhalten hat. Formale Definition rekursiv:
\(a_1:=x_n\), wobei \(n:=\min \{k | x_k\in A\}\) und
\(b_1:=x_m\), wobei \(m:=\min \{k | x_k\in B, x_k\neq a_1\}\).
\(a_{i+1}:=x_n\), wobei \(n:=\min \{k | x_k\in A,x_k\not\in \{a_1,\ldots,a_i,b_1,\ldots, b_i\}\}\) und
\(b_{i+1}:=x_m\), wobei \(m:=\min \{k | x_k\in B,x_k\not\in \{a_1,\ldots, a_{i+1}, b_1,\ldots,b_i\}\}\).
Damit sind (glaube ich ;-)) zwei TFn von x_k definiert mit \(a_k\in A, b_k\in B,\{a_k|k\in N\}\cup \{b_k|k\in N\}= \{x_k|k\in N\}\) (disjunkte Vereinigung) und weil wir im 3. Fall sind, sind die Mengen, von denen das Minimum gebildet wird, nie leer, die TFn sind also wohldefiniert.

  ─   mikn 06.04.2021 um 15:37

Oh wow, also muss zugeben auf diese rekursive Definition wäre ich niemals gekommen.
Ist es richtig dass ich nun eigentlich meine Aufteilung von \(x^{(k)}\) mit diesen zwei Folgen wie oben vornehmen kann und dann ist auch die "Gleichungskette" korrekt?
  ─   karate 06.04.2021 um 16:42

Solange da \(\cup\) steht, passt es nicht. Man muss die beiden TFn betrachten, für die kann man jeweils eine (richtige) Gleichungskette aufstellen, und dann argumentiert man (mit Worten), dass damit auch die Gesamtfolge das gewünschte erfüllt (kann/sollte man sich mit eps-n_0 überlegen, das geht weil die Gesamtfolge GENAU aus den beiden TFn besteht).
PS: An der rekursiven Def. hab ich auch ein Weilchen gebastelt. Man muss dazu halt das intuitive Vorgehen formalisieren, diese Fähigkeit braucht man auch zum Programmieren.
  ─   mikn 06.04.2021 um 17:09

Super vielen Dank für die Hilfe! Ja ich denke das kriege ich hin.   ─   karate 06.04.2021 um 17:50

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