Rechts-/Linksseiten Grenzwerte berechnen

Erste Frage Aufrufe: 83     Aktiv: 02.01.2022 um 14:23

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Hallo, ich habe eine Aufgabe wo ich ein paar Grenzwerte beweisen soll, aber ich hänge bei diesen beiden:
$$\forall a >0:\lim_{x\searrow 0}x^a =0$$
$$\lim_{x\searrow 0}x^x =1$$

Wir hatten in der Vorlesung diese rechts-/linksseiten Grenzwerte nur sehr abstrakt über Berührpunkte definiert, aber damit kann ich hier irgendwie nicht so viel anfangen. Könnte mir vielleicht jemand mal an einem Beispiel/Video zeigen, wie man diese rechts/linksseiten Grenzwerte konkret berechnet? Dann kann ich mir vielleicht schon selbst genug darunter vorstellen.

MfG Christian
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$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ ist definiert über die Grenzwerte der Folge $f(x_n)$, wenn $x_n\to x_0$.
$\lim\limits_{x\to x_0+} f(x)$ ist definiert über die Grenzwerte der Folge $f(x_n)$, wenn $x_n\to x_0+$, d.h. es werden nur Folgen $x_n$ betrachtet, deren Glieder alle $>x_0$ sind.
Die Berechnung geschieht genauso, man muss eben bei den einseitigen Grenzwerten nur die Bedingung $x_n>x_0$ beachten. Wenn die in der Berechnung gar keine Rolle spielt, umso besser, dann geht es nur um $x\to x_0$ (ohne Zusatzbedingung).
Die  Bedingung macht also nur Sinn, wo sie wirklich nötig ist, wie hier z.B..
Der Grenzwert von $(x_n)^a$ ist z.B. für $a=0.5$ für $x_n<0$ nicht definiert. Für $a=1$ oder $a=2$ wäre die Bedingung nicht nötig. Um die Aufgabe nicht mit Fallunterscheidungen zu beladen, sagt man daher von vornherein, dass es nur um $x>0$ geht, dann ist es für alle $a$ definiert. Dann ist das aber eben "nur" der Grenzwert für $x\to 0+$. 
Zur Berechnung also: Ganz normal berechnen, aber auf das Vorzeichen der $x$ achten.
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