Stammfunktion finden

Erste Frage Aufrufe: 51     Aktiv: 06.09.2021 um 22:37

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Hallo zusammen,
ich verzweifle an einer Funktion und deren Aufleitung. 
f(x)= 1/(2x-7)
Die Stammfunktion sei scheinbar 
F(x)= 1/2 ln (2x-7) + c

Wenn die Aufleitung von 1/x --> ln(x)+c ist, warum steht dann bei F(x) vor dem ln noch "1/2"? Für mich wäre logischer, wenn es nur ln (2x-7)+c wäre.
Bitte um Erklärung. Danke im voraus!!
LG
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Das kommt durch die Kettenregel: Wenn $f(x)=\ln(ax+b)$ ist, dann gilt $f'(x)=a\cdot \frac{1}{ax+b}$. Das bedeutet aber, dass beim Aufleiten dividiert werden muss. 

Alternative: Lineare Substitution. Es ist $\int\! \frac{1}{ax+b}\,\mathrm{d}x=\int\!\frac{1}{a}\frac{1}{u}\,\mathrm{d}u$ mit $u=ax+b$ und $\mathrm{d}u=a\mathrm{d}x$, also $\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\mathrm{d}u$.
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Selbstständig, Punkte: 11.22K

 

Aber meine Funktion f, die ich aufleiten will, hat nicht die Form "a*(1/(ax+b))", sondern nur "1/(2x-7)".
Könntest du deine Erklärung vllt an meinem Beispiel konkret erklären? Leider verstehe ich es noch nicht. Trotzdem vielen Dank!
  ─   user94f482 06.09.2021 um 22:12

Ja, dann schreibst du eben $g'(x)=\frac{1}{ax+b}=\frac{1}{a}\cdot a\cdot \frac{1}{ax+b}=\frac{1}{a}f'(x)$. Und dann ist die Stammfunktion $G(x)=\frac{1}{a}F(x)$ (Faktorregel).   ─   cauchy 06.09.2021 um 22:17

Ich danke dir sehr für deine Mühe. Ich werde leider daraus trotzdem nicht schlau. Aber trotzdem vielen Dank für deine Zeit!   ─   user94f482 06.09.2021 um 22:25

Wenn du den Logarithmus ableitest, dann musst du mit der inneren Ableitung multiplizieren. Daraus folgt, dass wenn du eine Funktion der Form $f(x)=\frac{1}{ax+b}$ aufleitest, durch die innere Funktion dividieren musst. Und genau das ist hier passiert.   ─   cauchy 06.09.2021 um 22:29

Jetzt habe ich es!!! Genial. Dankeschön!!!! Schönen Abend noch   ─   user94f482 06.09.2021 um 22:36

Perfekt.   ─   cauchy 06.09.2021 um 22:37

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