Der ideale Lösungsweg sind die ersten 3 Schritte der vorgegebenen Lösung. Dann im Zähler die 2 ausklammern, im Nenner (wegen des quadratischen Exponenten) die 4 ausklammern. Dann kürzen.

Polynomdivision ist hier nicht nötig. Man ist mit einem Bruch total zufrieden! Mehr ist nicht gewollt.

Nur als Zusatz:
Ableitungen werden gebildet, weil man meist Extremstellen, also Hoch- und Tiefpunkte, sucht. Dafür muss die Nullstelle der 1. Ableitung berechnet werden. Wichtig: Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null wird. Der Nenner spielt dann keine Rolle (muss sogar ungleich Null sein).

Bis einschließlich vorletztem Schritt hast du keinen Fehler gemacht. Leider kann man aber Brüche nicht so einfach kürzen oder zusammenfassen, wie du es in deinem letzen Schritt vorschlägst. Lass den Bruch einfach stehen. Das gibt auf jeden Fall Teilpunkte.
Um volle Punktzahl zu erlangen sollte soweit wie möglich gekürzt werden. Sowohl im Zähler als auch im Nenner kann eine 2 ausgeklammert werden, die dann gegeneinander weggekürzt werden.
Fazit: keiner der Lösungswege (einschließlich kürzen) ist besser.