Hallo,
ich sitze hier vor folgender Aufgabe:
Sei \(\Omega\subseteq\mathbb{R}^n\) offen und \(f:\Omega\rightarrow \mathbb{R}^n\) stetig differenzierbar. Gilt 
\(|f(x)-f(y)|\ge\lambda|x-y|,\,\,x,y\in\Omega\)
mit \(\lambda>0\), so ist \(f\) ein Diffeomorphismus auf \(f(\Omega)\).

Meine Ideen:
Um zu zeigen, dass \(f\) ein Diffeomorphismus ist, muss ich zeigen, dass \(f\) bijektiv ist. Außerdem muss ich zeigen, dass es eine stetig differenzierbare Umkehrabbildung \(f^{-1}\) gibt.

Wenn ich die gegebene Ungleichung umstelle sieht man, dass \(f\) streng monoton wachsend und somit injektiv ist. 
Weiter komme ich allerdings nicht. Wie zeigt man einerseits die Surjektivität und andererseits die Existenz der differenzierbaren Umkehrabbildung?

Kann mir da jemand helfen?
Danke im Voraus!