Diffeomorphismus zeigen

Aufrufe: 63     Aktiv: 12.11.2021 um 17:25

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Hallo,
ich sitze hier vor folgender Aufgabe:
Sei \(\Omega\subseteq\mathbb{R}^n\) offen und \(f:\Omega\rightarrow \mathbb{R}^n\) stetig differenzierbar. Gilt 
\(|f(x)-f(y)|\ge\lambda|x-y|,\,\,x,y\in\Omega\)
mit \(\lambda>0\), so ist \(f\) ein Diffeomorphismus auf \(f(\Omega)\).

Meine Ideen:
Um zu zeigen, dass \(f\) ein Diffeomorphismus ist, muss ich zeigen, dass \(f\) bijektiv ist. Außerdem muss ich zeigen, dass es eine stetig differenzierbare Umkehrabbildung \(f^{-1}\) gibt.

Wenn ich die gegebene Ungleichung umstelle sieht man, dass \(f\) streng monoton wachsend und somit injektiv ist. 
Weiter komme ich allerdings nicht. Wie zeigt man einerseits die Surjektivität und andererseits die Existenz der differenzierbaren Umkehrabbildung?

Kann mir da jemand helfen?
Danke im Voraus!
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Punkte: 25

 

Eine injektive Abbildung ist auf dem Bild $f(X)$ immer bijektiv. Um den lokalen Diffeomorphismus zu erhalten, wirst du mit dem Inverse Function Theorem arbeiten müssen. Versuche zu zeigen, dass die Ableitung invertierbar ist (ich bin kein Analysis-Experte, daher weiß ich gerade nicht, wie das zu zeigen ist, aber das ist im Grunde die wesentliche Beobachtung die du machen musst).   ─   zest 12.11.2021 um 16:33
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