Skalares Kurvenintegral berechnen

Aufrufe: 90     Aktiv: 25.06.2021 um 20:14

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Hi! Ich habe diese Aufgabe:
 
Mir erschließt sich nicht so ganz, wie man das löst. Es ist ja keine Parametrisierung gegeben und ich habe auch kein Intervall für das Integral. Ich hätte die Idee, dass man f auf ein Potential prüfen kann (wobei ich nicht weiß, ob das nur für Vektorfelder geht) und dann einfach die beiden Punkte in f einsetzen. Aber bin mir sehr unsicher. Danke und lg
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Mit Potential hast Du hier nichts zu tun. Teil der Aufgabe ist es eben, die Parametrisierung selbst zu finden.
Der gegebene Streckenzug ist Teil einer Geraden. Die Darstellung einer Geraden in Parameterform (überlege, warum diese gerade Parameterform heißt!) kennst Du sicher. Da man nur einen Teil der Geraden braucht, ist der Parameter eben nicht in R, sondern nur in einem gewissen Intervall.
Auf welche Parameterdarstellung der Kurve, also \(\gamma(t)=...\) kommst Du dann?
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Sorry erstmal, ich bin nicht so bewandert in LaTex, deshalb schreibe ich das einfach als Text. Für die Parameterdarstellung habe ich nun:
(x,y,z) = (1,0,2)+t*(1,4,8)
Einfach Punkt B - Punkt A und dann eingesetzt. Beim Intervall bin ich mir nicht sicher aber das wird ja eigentlich vom x wert bestimmt. Deshalb wäre das dann [1,2]? Danke für deine Hilfe!!
  ─   felix1220 23.06.2021 um 14:21

Die Parameterbeschreibung f\(\gamma(t)\) ist schonmal richtig. Zum Intervall für den Parameter t: Beachte, [a,b] ist das richtige Intervall, wenn für t=a der Anfangspunkt der Kurve rauskommt und für t=b der Endpunkt.   ─   mikn 23.06.2021 um 14:38

dann ist t zwischen [0,1]   ─   felix1220 23.06.2021 um 16:46

Genau. Nun nur noch in die Def. des Integrals einsetzen und ausrechnen.
Noch zur Kurve: Die Darstellung ist nicht eindeutig: Ersetze z.B. t durch 2*u, dann hat man den Parameter u (und dazu das Intervall [0,1/2]). Oder: ersetze t durch 3v+1, dann hat man den Parameter v (mit [-1/3, 0]). Rechne das mal nach.
Der Punkt ist aber: Der Wert des Integrals ist unabhängig von der Parameterdarstellung (aber nicht von der Kurve). Es ist lehrreich sich davon durch Nachrechnen zu überzeugen, dann versteht man wie das läuft.
  ─   mikn 23.06.2021 um 17:53

Vielen Dank für die Hilfe :)   ─   felix1220 25.06.2021 um 20:14

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  1. \(\vec\gamma(t)\Rightarrow \vec \gamma'(t)=\pmatrix{1\\4\\8}\Rightarrow ||\vec \gamma'(t)||=..\)
  2. \(f(x,y,z)=\frac{1}{3}(x^2+4y^2+3yz)\iff f(t)=\frac{1}{3}(1+t)^2+64t^2+12t(2+8t)=...\)
  3. \(\int_0^1 f(t)\cdot ||\vec \gamma'(t)||dt=..\)
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