Die erste Summe summiert alle Quadratzahlen von 1 bis \(n^2\), danach werden alle Quadratzahlen von \(2^2\) bis \((n-1)^2\) wieder abgezogen. Also bleibt nur der erste Term (1) und der letzte Term (\(n^2\)) der ersten Summe übrig.

Formal und ganz ausfühtlich könnte man schreiben, indem man die erste Summe auf drei Summen aufteilt:

\(\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{i=2}^{n-1}i^2=\left(\sum_{i=1}^1i^2+\sum_{i=2}^{n-1}i^2+\sum_{i=n}^ni^2\right)-\sum_{i=2}^{n-1}i^2.\) Jetzt kürzen sich die zweite und die vierte Summe gegenseitig weg, und bei der ersten und dritten Summe summieren wir jeweils nur über einen Index, sodass wir diesen einfach einsetzen können und \(1+n^2\) bekommen.