Erwartungswert berechnen

Aufrufe: 390     Aktiv: 07.09.2023 um 19:33

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Es ist gegeben: 


                       

 Nun soll der Erwartungswert berechnet werden. 

Lösung:                       

Problem: Die Integrale sind verständlich, jedoch verstehe ich nicht wieso man am Ende 1/4•3/2 und 1/8•7/4 dazu addiert und woher das kommst...

 

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Die Funktion F hat Unstetigkeitsstellen, und zwar
  • springt F bei \(x=3/2\) um \(1/4\) nach oben (von \(1/4\) auf \(1/2\)). Deswegen ist \( P(X=3/2) = 1/4 \).
  • springt F bei \(x=7/4\) um \(1/8\) nach oben (von \(3/4\) auf \(7/8\)). Deswegen ist \( P(X=7/4) = 1/8 \).
Diese Unstetigkeitsstellen muss man zu den Erwartungswert dazuaddieren, also den Term
\( \displaystyle \sum_{x \; \mbox{Unstetigkeitsstelle}} P(X=x) \cdot x \)
Das macht hier gerade \( \frac{1}{4} \frac{3}{2} + \frac{1}{8} \frac{7}{4} \) .

Meistens hat man ja entweder eine stetig wachsende Verteilungsfunktion (dann ist der Erwartungswert ein Integral), oder eine rein stufenweise wachsende Verteilungsfunktion (dann ist der Erwartungswert eine Summe). Hier hat man mal einen Mischfall, also sowohl stetige als auch stufige Anstiege. Drum wird hier der Erwartungwert aus Integralen und einer Summe gebildet.
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Das F bei x=3/2 um 1/4 nach oben springt, ergibt sich ja meine ich von
7/4–3/2=1/4. Bei x=7/4 verstehe ich leider nicht wieso der Sprung um 1/8 sein soll, wenn dann doch 2-7/4=1/4 ist.
Auch verstehe ich nicht ganz wie sich die Werte in der Klammer wie zb 7/8 ergeben.
  ─   tim12344 06.09.2023 um 12:18

Berechne $F(\frac{7}{4})$. Oder noch besser: skizziere $F$.   ─   cauchy 06.09.2023 um 12:33

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Nicht die Länge des Intervalls ist entscheidend, sondern was F an dieser Stelle tut.

In Formeln: Die Sprunghöhe bei x beträgt \( \displaystyle \lim_{\xi \rightarrow x, \xi>x} F(\xi) - \lim_{\xi \rightarrow x, \xi < x} F(\xi) \).

Für die Sprunghöhe bei x=7/4 ist also der vierte und dritte Zweig von F entscheidend!
  ─   m.simon.539 06.09.2023 um 13:44

Achso und woran erkennt man eigentlich die Unstetigkeitsstellen? Liegt es etwa daran, dass die Grenzen also 3/2 und 7/4 keine ganzen Zahlen sind, wobei ja dann doch eigentlich die zweite Zeile mit 1<=x<3/2 auch eine nicht stetige Stelle sein müsste?   ─   tim12344 06.09.2023 um 15:23

Nochmal: Zeichne den Graphen!   ─   cauchy 06.09.2023 um 16:58

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Die Unstetigkeiten erkennt man - am Beispiel von x=7/4 erklärt - wie folgt:
x=7/4 liegt genau an der Naht zwischen dem dritten und dem vierten Zweig von F.
Man setze also x=7/4 in den dritten und in den vierten Zweig von F ein.
Im dritten Zweig kommt \(-1+x = -1+7/4 = 3/4 \) heraus.
Im vierten Zweig kommt \(1/2 \cdot x = 1/2 \cdot 7/4 = 7/8 \) heraus.
Diese Werte unterscheiden sich. Also ist F bei 7/4 unstetig.
  ─   m.simon.539 07.09.2023 um 00:01

Streng genommen setzt man nicht ein, sondern bildet in dem einem Fall den Grenzwert. Aber, würde man sich die Funktion endlich mal aufzeichnen, wären damit wohl die meisten Fragen beantwortet.   ─   cauchy 07.09.2023 um 00:12

Vielen Dank!!!!!   ─   tim12344 07.09.2023 um 19:33

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