Lineare Hülle zweier Basen

Aufrufe: 189     Aktiv: 22.06.2022 um 11:12

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Hey, bei folgendem Beispiel weiß ich nicht weiter:

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und seien $U,W \subseteq V$ Untervektorraum mit den Basen $B_U, B_W$.
Untersuchen Sie, ob die lineare Hülle von $B_U \cup B_W$ gleich der Menge
\begin{align}
U+W := \{z \in V: \exists u,w \text{ mit } u \in U, w \in W \quad z = u+w\}
\end{align} ist.

Ich weiß nicht ganz, wie ich das jetzt zeigen soll. Das ist doch quasi die Definition von zwei UVR und welches EZS sie aufspannen, oder? Es ist doch klar, dass zwei Basen, die Untervektorräume von einem VR aufspannen in der Vereinigung eine neue Menge erzeugen, die auch wieder UVR von $V$ ist. Wo liegt da mein Denkfehler?
Danke :)
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1 Antwort
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Ja, die Aussage ist wahrscheinlich zu leicht für dich. Du sollst einfach zeigen, dass \(\operatorname{Span}(B_U\cup B_W)=U+W\) ist. Hierfür musst du einfach die beiden Inklusionen zeigen, keine Angst es ist sehr leicht. Es ist aber gute Aussage zu merken: \(U+W\) ist kleinster UVR, der \(U\) und \(W\) enthält
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Super, danke!
Es gibt bei dem Beispiel auch einen Teil b bei dem ich auch nicht ganz verstehe, was ich da tun soll, wäre super, wenn du oder jemand andere/r mir da auf die Sprünge helfen könntest :)

Nehmen Sie an, dass $U \cap W=\{0\}$. Bestimmen Sie eine Basis von $U+W$ und beweisen Sie Ihre Behauptung.

Das heißt ja eigentlich, dass $U$ und $W$ geschnitten nur $0$ in ihrer Menge haben, aber nicht die leere Menge $\{\}$, oder? Die Basis von $U+W$ ist dann doch einfach $\{B_U + B_W\}$, weil die Null ja sowieso nichts ausmacht ... Stimmt das so? Oder was soll ich da beweisen?
  ─   yoshi 22.06.2022 um 10:08

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Also die Basis ist dann \(B_U\cup B_W\), EZS ist nach Aufgabenteil (a) dann ja klar, dann reicht also ein Dimensions oder linear Unabhängigkeits Argument   ─   mathejean 22.06.2022 um 11:12

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