Hey, bei folgendem Beispiel weiß ich nicht weiter:

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und seien $U,W \subseteq V$ Untervektorraum mit den Basen $B_U, B_W$.
Untersuchen Sie, ob die lineare Hülle von $B_U \cup B_W$ gleich der Menge
\begin{align}
U+W := \{z \in V: \exists u,w \text{ mit } u \in U, w \in W \quad z = u+w\}
\end{align} ist.

Ich weiß nicht ganz, wie ich das jetzt zeigen soll. Das ist doch quasi die Definition von zwei UVR und welches EZS sie aufspannen, oder? Es ist doch klar, dass zwei Basen, die Untervektorräume von einem VR aufspannen in der Vereinigung eine neue Menge erzeugen, die auch wieder UVR von $V$ ist. Wo liegt da mein Denkfehler?
Danke :)