Matritzen

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Hallo, ich habe bei der Vorlesung heute nicht ganz verstanden wie wir auf den Beweis gekommen sind dass für eine beliebige matrix aus R gilt: Rg(A^tA)= Rg (A)

Würde mich über eine Antwort sehr freuen.:)

gefragt 7 Monate her
ismail1emre
Student, Punkte: 12

 

was meinst du mit Rg?
  ─   karate 7 Monate her

\(rg(A)\) ist typischerweise der Rang der Matrix \(A\)   ─   1+2=3 7 Monate her

Bist du sicher, dass "Rg(A^tA)= Rg (A)" gemeint ist, oder nicht eher "Rg(A^t)= Rg (A)"?   ─   digamma 7 Monate her

Mit kommt auch lediglich \(Rg(A^{T})=Rg(A)\) bekannt vor, aber einen Beweis dafür habe ich nicht parat.   ─   1+2=3 7 Monate her
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1 Antwort
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Hallo,

für reelle Matrizen gilt tatsächlich

$$ rg(A) = rg(A^T \cdot A) $$

Man kann das eigentlich sehr leicht über den Kern zeigen. Dafür zeigst du \( \mathrm{ker}(A) \subseteq \mathrm{ker}(A^TA) \) und \( \mathrm{ker}(A^TA) \subseteq \mathrm{ker}(A) \). 

Das erste ist ziemlich simpel. Wenn

$$ Ax = 0 $$ 

gilt, dann gilt offensichtlich auch

$$ A^TAx = 0 $$

und somit sofort

$$ \mathrm{ker}(A) \subseteq \mathrm{ker}(A^TA) $$

Die zweite Richtung läuft relativ analog. Setze an bei

$$ A^TAx = 0 $$

versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

geantwortet 7 Monate her
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 25.78K
 

Ich komme leider doch nicht weiter...   ─   ismail1emre 7 Monate her

Die andere Richtung geht so:
\(A^TAx=0\)
\(x^TA^TAx=0\)
\((Ax)^TAx=0\)
\(Ax=0\)
hast du noch Fragen dazu?
  ─   holly 7 Monate her
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