Hallo,
für reelle Matrizen gilt tatsächlich
$$ rg(A) = rg(A^T \cdot A) $$
Man kann das eigentlich sehr leicht über den Kern zeigen. Dafür zeigst du \( \mathrm{ker}(A) \subseteq \mathrm{ker}(A^TA) \) und \( \mathrm{ker}(A^TA) \subseteq \mathrm{ker}(A) \).
Das erste ist ziemlich simpel. Wenn
$$ Ax = 0 $$
gilt, dann gilt offensichtlich auch
$$ A^TAx = 0 $$
und somit sofort
$$ \mathrm{ker}(A) \subseteq \mathrm{ker}(A^TA) $$
Die zweite Richtung läuft relativ analog. Setze an bei
$$ A^TAx = 0 $$
versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.79K
\(A^TAx=0\)
\(x^TA^TAx=0\)
\((Ax)^TAx=0\)
\(Ax=0\)
hast du noch Fragen dazu? ─ holly 18.06.2020 um 21:50
─ karate 15.06.2020 um 09:20