Gaußsches Weißes Rauschen

Erste Frage Aufrufe: 131     Aktiv: 15.07.2022 um 23:32

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Hi an alle,

kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich an die Aufgabe ran gehen kann? Ich habe leider keinen Anhaltspunkt wo ich anfangen kann noch was ich mir konkret anschauen kann online um hier weiter zu kommen. An der Aufgabe sitze ich schon eine Weile, aber ich verstehe sie einfach nicht.  



Danke schonmal für die Hilfe und einen schönen Start in die Woche an alle.

MfG Justin.
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Für die Erwartungswerte und Varianzen gibt es Formeln und Eigenschaften, die man hier ausnutzen kann. 
Für die b) und c) kann man ausnutzen, dass die Summe (jede Linearkombination) normalverteilter ZV wieder normalverteilt ist. Du musst also nur ausrechnen, wie $X_3$ und $Y_3$ aussehen. 
Für d) schaust du dir mal die mehrdimensionale Normalverteilung an.
Für e) und f) solltest du dir natürlich erstmal klar machen, was stationär bedeutet und was man da zeigen muss. Das weiße Rauschen ist bspw. ein stationärer Prozess.
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So ich habe jetzt die Aufgaben a-d gelöst mit deinen Anregungen, habe aber keine Möglichkeit das mit jemandem abzugleichen. Falls du mir hier weiterhelfen könntest wäre ich dir unendlich dankbar.

a) E(Xn) = 0, da Normalverteilung
Var(Xn)=Var(Wn)+(-0,5)^2*Var(Wn-1) = 31,25
E(Yn) = 0, da Normalverteilung
Var(Yn) = 0,2*Var(Yn-1)+Var(Wn) = 30

b) E(X3) = 0
Var(X3) = 31,25 ... X3~N(0, 31.25)

c) E(Y3) = 0
Var(Y1) = Var((0,2)^0,5*Y0+W1) = 0,2*1,25Var(W0)+Var(W1) = 31,25
Var(Y2) = 0,2Var(Y1)+Var(W2) = 0,2*31,25 + 25 = 31,25
Var(Y3) = 31,25
Y3~N(0, 31.25)

d) cov(X1,X2) = cov(W1-0,5*W0 , W2-0,5*W1) = cov(W1, -0,5W1) = 1*(-0,5)*cov(W1, W1) = -12,5 da cov(W1,W1) = var(W1)
(X1) ~ N2 ((0),(31,25 -12,5))
(X2) ((0),(-12,5 31,25))

cov(Y1,Y2) = cov((0,2)^0,5*Y0+W1 , (0,2)^0,5 * Y1+W2) = 0, da keine Variablenpaare entstehen

(Y1) ~ N2 ((0),(31,25 0))
(Y2) ((0),(0 31,25))

Für die Zukunft, kann ich hier auch irgendwie Dateien anhängen, falls ich Mal wieder eine Lösung oder einen Lösungsweg teilen möchte, denn das abtippen war sehr umständlich.

MfG Justin
  ─   justinwinfo 13.07.2022 um 17:39

Erstmal schön, dass du dich selbst versuchst hast. Dateien direkt nicht, aber Bilder kannst du bspw. über imgur.com hochladen.

a) Die Begründung ist nicht "da Normalverteilung", denn es gibt ja auch Normalverteilungen, wo der Erwartungswert nicht 0 ist. Es folgt aber einfach aus der Linearität des Erwartungswertes. Gelten die Varianzen wirklich für alle $n$? Warum weicht deine Varianz für $Y_n$ von der Varianz in Aufgabe c) ab? Teil b) passt. Teil c) sieht soweit auch in Ordnung aus. Bei d) sind die Verteilungen nicht richtig angegeben. Es ist ja eine mehrdimensionale Verteilung, das heißt du hast einen Zufallsvektor. Schau da nochmal nach, wie eine mehrdimensionale Verteilung definiert ist, um dann die Verteilungen für die Vektoren korrekt anzugeben.

  ─   cauchy 13.07.2022 um 18:08

Ich habe leider nicht so wirklich eine Wahl. Ich schreibe nächsten Samstag eine Prüfung zu dem Thema und muss es verstehen, sonst komme ich hier nicht weiter. ^^

Danke für deine Hilfe und den Tipp mit dem hochladen. Bei X würde ich schon sagen, dass die Varianzen für alle n so gelten. Bei Y unterscheiden sich die Varianzen, weil ich für Yn-1 die 25 eingesetzt habe und dadurch dann beim ausrechnen eine 30 raus kam. Ich muss ehrlich zugeben, dass mein Kollege und ich die meisten Probleme damit hatten für die Variablen Werte einzusetzen, da wir uns nie sicher waren ob das so richtig ist. Z.B. hat es für uns logisch keinen Sinn ergeben bei der Varianzrechnung für W1 und W2 den gleichen Wert, also 25 einzusetzen. Trotzdem haben wir damit gerechnet. Falls du mir hier bei dem Verständnisproblem helfen kannst muss ich mich definitiv wieder bei dir bedanken.

d werde ich mir nochmal anschauen. Ich schauen aktuell noch 2 Vorlesungen zu Zeitreihen und wollte mich danach, mit hoffentlich mehr Ahnung von dem Ganzen, daran versuchen.
  ─   justinwinfo 13.07.2022 um 22:20

Für die Varianz von $X_n$: Es gilt $\operatorname{Var}(W_i)=25$ für alle $i$, da $W_i$ i.i.d. $\mathcal{N}(0,25)$-verteilt. Sowas reicht auch als Begründung und sollte man auch erkennen können.

Für die Varianz von $Y_n$: Hier liegt eine Rekursionsformel vor. $Y_0$ ist gegeben. Also rechnet man erstmal die Varianz für $Y_1$, $Y_2$ etc. aus. Dann schaut man, was mit den Varianzen passiert. Wenn man Glück hat ist es einfach, wenn man weniger Glück hat, muss man eine Formel in Abhängigkeit von $n$ angeben, die ggf. zu beweisen ist, was häufig mit vollständiger Induktion geht. In diesem Fall ist es aber einfach.
  ─   cauchy 14.07.2022 um 16:39

Ich habe jetzt d nochmal nachgeschaut. Es wird ja der Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix zusammen geschrieben. Da komme ich auf die Werte die ich vorher schon angegeben habe und auf die gleiche Verteilung, denn cov(X1,X2)=cov(X2,X1) und die var(X1)=var(X2). Wie genau sind die Verteilungen da falsch angegeben bei meiner Lösung?

Und bei e habe ich die Lösung, dass es schwach stationär ist, da E(Xn), Var(Xn) und Auto-cov(Xn,Xn+1) endlich und von n unabhängig sind.

Bei f ist es nicht stationär, da es unkorreliert ist
  ─   justinwinfo 15.07.2022 um 19:03

Na, du musst dann auch den ErwartungswertVEKTOR und die KovarianzMATRIX angeben. Hast du aber beides nicht.   ─   cauchy 15.07.2022 um 19:27

Die habe ich beide auf meinem Zettel beim ausarbeiten stehen, habe sie aber hier nicht mit rein geschrieben sry. Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe. Ich denke ich habe es jetzt mehr oder weniger verstanden und werde noch ein paar Übungsaufgaben dazu durchrechnen.   ─   justinwinfo 15.07.2022 um 20:43

Ah okay. Wenn du es für dich ordentlich aufgeschrieben hast, ist ja gut. :) Viel Erfolg bei der Prüfung!   ─   cauchy 15.07.2022 um 23:32

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