Komplexe Zahlen: Lösen einer Gleichung

Erste Frage Aufrufe: 52     Aktiv: 15.05.2021 um 16:59

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Die Aufgabenstellung lautet: "Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung 128 * z = z^{7} in der Menge der komplexen Zahlen."
Ich würde sagen i und -i sind Lösungen, aber bestimmt gibt es noch andere Lösungen, aber ich weiß nicht wie ich darauf komme.
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1 Antwort
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Erstmal sind \(i\) und \(-i\) keine Lösungen, denn \((\pm i)^7=\mp i\neq128\cdot\pm i\)
Eine offensichtliche Lösung der Gleichung ist \(0\), wenn wir dann durch \(z\) teilen, kommen wir auf \(128=z^6\). Lösungen davon sind gegeben durch \((128)^{1/6}\zeta_6^i,\ i=0,\ldots,5\), wobei \(\zeta_6\) eine primitive \(6\)-te Einheitswurzel ist.
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Das 0 eine Lösung ist, kann ich noch verstehen. Aber ich habe noch nie dieses Symbol gesehen und von einer primitiven Einheitswurzel gehört. Gibt es auch eine "leichtere/einfachere" Darstellung der Lösungen? Wenn es in der Menge der komplexen Zahlen ist, wieso kommt dann kein i vor?   ─   lenamm 15.05.2021 um 16:53

Es ist immer schwer abzuschätzen, was der Wissensstand von Fragestellern ist, wenn man nur wenig Informationen hat. Die Frage sah so nach Einheitswurzeln aus, deshalb hab ich das einfach mal angenommen. Aber gut, dann vergiss das wieder.
Kennst du die Polardarstellung komplexer Zahlen? Dann kannst du schreiben \(128=(re^{i\varphi})^6=r^6e^{6i\varphi}\) und erhälst daraus die Gleichungen \(128=r^6\) und \(6\varphi\equiv0\mod2\pi\).
  ─   stal 15.05.2021 um 16:57

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