Vektorraum Aussagen wahr oder falsch (Beweisen/Gegenbeispiel)

Aufrufe: 483     Aktiv: 06.01.2021 um 15:55
0

Sei V ein 𝕂-Vektorraum mit Skalarprodukt.

Sind die beiden folgenden Aussagen wahr oder falsch? (Beweisen oder Gegenbeispiel)

1. Ist 𝑥 ∈ 𝑉 und gilt 𝑥 ∙ 𝑦 = 0 für alle 𝑦 ∈ 𝑉 , so folgt 𝑥 = 0.

2. Es seien 𝑣1, … , 𝑣𝑛, 𝑦 ∈ 𝑉 Ist 𝟎 ≠ 𝑦 orthogonal zu jedem Vektor aus span(𝑣1, … , 𝑣𝑛), so folgt span(𝑣1, … , 𝑛𝑛) ≠ 𝑉.

Bei der ersten Aussage habe ich keine Idee, wie ich das beweisen soll und bei der zweiten verstehe ich leider nichtmal wirklich, was die Aussage bedeutet.

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 12

 
Also bei der ersten Aussage fällt mir direkt auf, dass entweder x oder y ein Skalar sein muss, denn Vektoren kann man nicht miteinander multiplizieren. Oder ist damit das Skalarprodukt gemeint?   ─   vzqxi 05.01.2021 um 19:02
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Hallo,

die erste Aussage folgt sofort aus der Definiton des Skalarproduktes. Da dies für alle \( y \in V \) gelten soll, gibt es ein spezielles \(y \), aus dem wir sofort \( x=0 \) folgern können.

Die zweite Aussage bedeutet, dass wenn wir einen Vektor \(y \in V \) finden können, der zu allen Vektoren \( v_i \in V \) mit \( i \in \{ 1,2, \ldots, n \} \) orthogonal ist, dann kann die Menge der Vektoren \( \{ v_1 , v_2 , \ldots , v_n \} \) kein Erzeugendensystem von \( V \) sein. Was muss eine Menge von Vektoren denn erfüllen, damit diese einen Vektorraum aufspannen können? Wie hängt die Eigenschaft mit der Orthogonalität von Vektoren zusammen?

Versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

 

Kommentar schreiben